# Corrigé du DNB Mathématiques - Session 2024
[:page_facing_up: Sujet au format PDF](https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Brevet_Metropole_1_07_2024_DV.pdf)
## Exercice 1
1. $1$ issue favorable sur $37$ issues possibles, donc la probabilité que la bille s'arrête sur le numéro $7$ est de $\dfrac{1}{37}$.
2. On compte $10$ issues favorables. On a alors : $p_\textrm{paire et noir}=\dfrac{10}{37}$.
3. a. $7$ issues favorables (en comptant le $0$). On a alors : $p_{X \le \textrm{6}}=\dfrac{7}{37}$.
b. On calcule la probabilité de l'événement contraire :
$1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{30}{37}$.
c. $\dfrac{3}{4} = \dfrac{30}{40} < \dfrac{30}{37}$.
Par comparaison des dénominateurs de fractions ayant le même numérateur, l'affirmation est donc vraie.
## Exercice 2
1. a. $5 \xrightarrow{x^2} 5^2=25 \xrightarrow{\times2} 25\times2=50 \xrightarrow{+2x} 50+2\times5=60 \xrightarrow{-4} 56$
b. Nombre choisi : $-9$
- $\textrm{Résultat 1 :} -9+2=-7$
- $\textrm{Résultat 2 :} -9-1=-10$
- $\textrm{Résultat 1 } \times \textrm{Résultat 2} : -7\times(-10)=70$
2. a. L'expression 2 : $E_2=(x+2)\times(x-1)$ donne le résultat obtenu par le programme B.
b. Pour le programme A, on obtient l'équation suivante :
$$2x^2+2x-4$$
3. Si on développe l'expression $E_2$, on a :
$(x+2)(x-1)=x^2-x+2x-2=x^2+x-2$.
Or si on factorise par $2$ l'expression obtenue en question 2.b, on a :
$2x^2+2x-4=2(x^2+x-2)$.
Ainsi, on démontre que le résultat du programme A est toujours le double du résultat du programme B.
## Exercice 3
1. Le diamètre est égal au double du rayon : $4{,}5 \times 2 = 9\,\textrm{cm}$.
2. Dans le triangle $ABD$, on a :
<div style="display:flex; margin-left:2em;">
<div style="width:30%">
$\begin{align}
AB^2&=9^2 \\
&=81
\end{align}$
</div>
<div style="width:68%">
$\begin{align}
AD^2+BD^2&=7{,}2^2+5{,}4^2 \\
&=51{,}84+29{,}16 \\
&=81
\end{align}$
</div>
</div>
On a donc l'égalité : $AB^2=AD^2+BD^2$.
On applique la réciproque du théorème de Pythagore et on en conclut donc que le triangle $ABD$ est rectangle en $D$ et son hypoténuse est $AB$.
3. On sait que :
- $A$, $F$ et $D$ sont alignés
- $A$, $E$ et $B$ sont alignés
- Les droites $(EF)$ et $(BD)$ sont parallèles.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès au triangle $ABD$ et $AFE$ et on a les égalités suivantes :
$$\displaystyle\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AB}=\frac{FE}{BD}$$
On a alors :
$\dfrac{AF}{7{,}2}=\dfrac{2{,}7}{9}$ et donc : $AF=\dfrac{7{,}2\times2{,}7}{9}=2{,}16\,\textrm{cm}$.
4. a. $\mathcal{A}_\textrm{triangle}=\dfrac{5{,}4\times7{,}2}{2}=19{,}44\,\textrm{cm}^2$
b. $\mathcal{A}_\textrm{disque}=\pi\times4{,}5^2\approx63{,}62\,\textrm{cm}^2$
c. $\dfrac{\mathcal{A}_\textrm{triangle}}{\mathcal{A}_\textrm{disque}}\approx\dfrac{19{,}44}{63{,}62}\approx0{,}306\approx30{,}6\,\%$
## Exercice 4
| Q. 1 | Q. 2 | Q. 3 | Q. 4 | Q. 5 | Q. 6 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| A : $-14$ | A : $-125$ | B : $E$ | C : $0$ | B : $1{,}67$ | A : $0{,}8$ |
## Exercice 5
### Partie A
1. La division euclidienne de $132$ par $15$ présente un reste non nul : $132 \div 15 = 8~\textrm{reste}~12$.
$132$ n'est donc pas divisible par $15$.
Il n'est finalement pas possible qu'il y ait exactement le même nombre de drapeaux dans chaque sachet.
2. a. $330 = 33\times10 = 11\times3\times5\times2$
$\hspace{0.9em}132 = 3\times44 = 3\times11\times2\times2$
b. Le plus grand diviseur commun est : $11\times3\times2=66$
c. $330 \div 66 = 5\,\textrm{autocollants}$
$\hspace{0.9em}132 \div 66 = 2\,\textrm{drapeaux}$
### Partie B
On calcule le volume de la piscine : $\mathcal{V}_\textrm{Piscine} = 25\times15\times2 = 750\,\textrm{m}^3$.
On calcule $\frac{9}{10}$ de ce résultat : $0{,}9\times750=675\,\textrm{m}^3$
On calcule finalement le coût du remplissage de la piscine :
$675\times4,14=2\,794{,}5\,€$
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