Convexité === --- # 1 -- Définition :::info Une fonction $f$ sera dite **convexe** sur un intervalle $I$ quand pour tout points $A,B$ de sa courbe, le segment $[AB]$ est au-dessus de la courbe de $f$. ::: ## Remarques - Elle sera dite **concave** si on peut remplacer *au-dessus* par *en-dessous*. - Comme la monotonie, la convexité est une propriété d'une fonction *sur un intervalle.* --- ## Exemple n°1 $x\mapsto e^x$ <iframe scrolling="no" title="Convexité exponentielle" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/he9pzrrk/width/1920/height/720/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/true/asb/false/sri/true/rc/true/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1920px" height="888px" style="border:0px;"> </iframe> --- ## Exemple n°2 $x\mapsto \frac{2}{3}x(x-2)(x-4)$ <iframe scrolling="no" title="Convexité polynôme" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cmqgyrt2/width/1920/height/720/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/true/asb/false/sri/true/rc/true/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1920px" height="888px" style="border:0px;"> </iframe> --- # 2 -- Lien avec la dérivation ## a) Théorème global :::warning ++Théorème++ Si $f$ est dérivable sur $I$, alors sur $I$, $f$ est convexe $\iff$ $f'$ est croissante $\iff$ $f''$ positive. ::: ### Remarques - $f''$ est la dérivée deuxième de $f$ : $f''=(f')'$. - Version concave ? --- ## b) Théorème local :::warning ++Théorème++ Si $f$ est dérivable sur $I$, alors sur $I$, $f$ est convexe $\iff$ $f$ est au-dessus de toute ses tangentes. ::: ### Remarques et exemples - Version concave ? - [Retour sur les exemples](#/3) --- ## c) Point d'inflexion Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. :::info On appelle **point d'inflexion** un $x\in I$ tel que $x$ délimite deux intervalles sur lesquels $f$ est de convexité différente. ::: Si $f$ est deux fois dérivable, cela est équivalent à - $f'$ change de sens de variation en $x$, - $f''$ change de signe en $x$.