# Étude d'une fonction
On considère la fonction définie sur ℝ par
$$
f(x) = -x^4 + 2x^2 + 1.
$$
:::tips
1. Étudier la parité de la fonction $f$.
2. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
3. Calculer la fonction dérivée de $f$ et étudier son signe.
4. Dresser le tableau de variations de $f$.
5. Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
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## 1. Étude de la parité
**Rappel.**
- Une fonction est **paire** si pour tout réel $x$, on a $f(-x) = f(x)$. Sa courbe est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- Une fonction est **impaire** si pour tout réel $x$, on a $f(-x) = -f(x)$. Sa courbe est alors symétrique par rapport à l’origine du repère.
Ici, la fonction $f$ est définie sur tout ℝ (c’est un polynôme).
Ainsi, pour tout $x \in D_f$, on a également $-x \in D_f$.
Pour tout réel $x$, calculons $f(-x)$ :
$$
\begin{aligned}
f(-x) &= -(-x)^4 + 2(-x)^2 + 1 \\
&= -x^4 + 2x^2 + 1 \\
&= f(x).
\end{aligned}
$$
Donc, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = f(x)$.
:::info
**Conclusion :** la fonction $f$ est **paire**.
Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
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## 2. Étude des limites
On cherche les limites de $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et vers $-\infty$.
On remarque que, pour les grandes valeurs de $|x|$, le terme dominant de $f(x)$ est $-x^4$, car :
- $x^4$ "grandit beaucoup plus vite" que $x^2$,
- le signe de ce terme est négatif.
### Limite en $+\infty$
$$
f(x) = -x^4 + 2x^2 + 1 = -x^4\left(1 - \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x^4}\right).
$$
Quand $x \to +\infty$ :
- $x^4 \to +\infty$,
- $\dfrac{2}{x^2} \to 0$ et $\dfrac{1}{x^4} \to 0$,
- donc $\left(1 - \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{x^4}\right) \to 1$.
:::info
Ainsi,
$$
\lim_{x\to+\infty} f(x)
= \lim_{x\to+\infty} \left[-x^4\left(1 - \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x^4}\right)\right]
= -\infty
$$
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### Limite en $-\infty$
On peut raisonner de la même façon. Comme $x^4$ est toujours positif, que $x$ soit positif ou négatif, on obtient aussi :
$$
\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty
$$
On peut aussi utiliser la parité :
$f$ est paire, donc pour tout $x$,
$$
f(-x) = f(x).
$$
Ainsi,
$$
\lim_{x\to -\infty} f(x)
= \lim_{x\to +\infty} f(x)
= -\infty
$$
:::info
**Conclusion :**
$$
\boxed{\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty}
$$
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## 3. Calcul de la dérivée et étude du signe de $f'$
### a) Calcul de la dérivée
La fonction $f$ est un polynôme, donc elle est dérivable sur ℝ.
On utilise les formules :
- $(x^n)' = n x^{n-1}$ ;
- $(a u)' = a u'$ ;
- $(u+v)' = u' + v'$.
On a :
$$
\begin{aligned}
f(x) &= -x^4 + 2x^2 + 1, \\
f'(x) &= (-x^4)' + (2x^2)' + (1)' \\
&= -4x^3 + 4x + 0 \\
&= -4x^3 + 4x
\end{aligned}
$$
On factorise :
$$
\begin{aligned}
f'(x) &= 4x(-x^2 + 1) \\
&= 4x(1 - x^2) \\
&= 4x(1 - x)(1 + x)
\end{aligned}
$$
:::info
**Dérivée :**
$$
\boxed{f'(x) = 4x(1 - x)(1 + x).}
$$
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### b) Étude du signe de $f'$
Les zéros de $f'$ sont les solutions de
$$
4x(1 - x)(1 + x) = 0.
$$
On obtient :
$$
x = -1,\quad x = 0,\quad x = 1.
$$
On étudie le signe de $f'(x)$ sur les intervalles suivants :
$]-\infty,-1],\ [-1,0],\ [0,1],\ [1,+\infty[$.
On utilise le produit de signes des trois facteurs $x$, $1-x$ et $1+x$.
### c) Extrema
On calcule les valeurs de $f$ aux points où $f'$ s’annule :
- $f(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$,
- $f(0) = -0^4 + 2\cdot 0^2 + 1 = 1$,
- $f(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.
### d) Conclusion : Tableau de signes
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## 4. Tableau de variations
On résume les résultats précédents dans un tableau de variations.
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## 5. Courbe représentative de $f$
### a) Quelques points utiles
On connaît déjà :
- $f(-1) = 2$,
- $f(0) = 1$,
- $f(1) = 2$.
Comme $f$ est paire, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
### b) Aspect général de la courbe
