Polygones concentriques et IA

#### Esprit critique ## IA et Polygones concentriques ### Comment évolue le rayon de cercles inscrits dans des polygones concentriques ? #### TRAAM Dijon <div class="r-stack"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_394bc487ab8e9a479850b8f55e897ef4.png" width="150" style="border: 0pt ;" position="left" ><span > &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp;</span><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_9c4e61014804c2c909dbb61550ac4e1e.png" width="150" style="border: 0pt"> </div>  ---  <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_12e41205a327173976a2498acd837f8f.jpg" width="150" style="border: 0pt "> Scénario réalisé dans la cadre des TRAAM 2024-2025 : **Quelles activités mathématiques pour former l’esprit critique des élèves ?** ###### Auteur : David Magnien ###### Classes de terminale spécialité <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_403450656a3d5e867dd9c9a4674c2f6b.jpg" width="80" style="border: 0pt"> ---  <div style="width : 100%; text-align : left;"> ## Objectif <p style="text-align : left;"> Dans cette activité, on va s'intéresser au rayon de cercles inscrits dans des polygones concentriques, et soumettre au préalable la question à une IA. La résolution du problème est accessible pour un élève mais peut pousser l'IA à des réponses surprenantes. </p> ----  ## Esprit critique <p style="text-align : left;"> L'activité permet de mettre à l'épreuve plusieurs biais cognitifs : * le [biais d'automatisation](https://biais-cognitif.com/biais/biais-dautomatisation/) : l'élève s'en remet à l'IA pour donner la réponse au problème sans remettre en question la réponse donnée. * le [biais d'ancrage](https://biais-cognitif.com/biais/biais-dancrage/) : une fois la réponse de l'IA obtenue, l'élève sera tenté d'infléchir ses réponses aux questions ouvertes pour s'en rapprocher. </p> </div> ---  ## Scénario de l'activité :::warning <p style="text-align : justify; font-size: 90%; "> Le scénario est organisée en une <b>première séance devant écran</b> pour interroger différentes IA, ce qui mettra en relief les biais. Une <b>seconde séance</b>, en classe ou non, permet de répondre de façon algorithmique au problème.<br> Cette seconde séance peut éventuellement être prolongée par un travail sur les suites, voire sur les séries. </p> ::: ----  ## Scénario de l'activité :::success <p style="text-align : left; font-size: 70%; "> On considère le procédé suivant :</p> <div style="text-align : left; font-size: 70%;"> - Soit un cercle de rayon 1. - On construit un triangle équilatéral circonscrit à ce cercle : les 3 côtés du triangle sont tangents au cercle. - Puis on construit le cercle circonscrit au triangle : le cercle passe par les 3 sommets du triangle. - Puis on construit un carré circonscrit au nouveau cercle : les 4 côtés du carré sont tangents au cercle. - Puis on construit le cercle circonscrit au carré - Puis on construit un pentagone circonscrit au cercle… A chaque étape, on construit un cercle circonscrit à un polygone régulier à n côtés, puis le polygone régulier à $(n+1)$ côtés circonscrit au cercle, et on continue à l’infini. </div> ::: ----  ## Scénario de l'activité :::success <p> La figure ci-dessous représente les étapes pour n variant de 3 à 6 :</p> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/f8d7445a24cb1250f72cca54b.png" width="150" style="border: 0pt"> On se pose la question suivante : le rayon des cercles ainsi construit tend-il vers l’infini avec $n$ ? ::: ----  ## Scénario de l'activité :::success <div style="text-align : left; font-size: 70%;"> ### Une première approche : demander à une IA On commence par demander leur avis aux élèves, puis on les autorise à poser le problème à diverses IA de leur choix, afin d'obtenir des réponses variées. </br> Selon l'IA utilisée, voire le module utilisé (dans le cas de Mistral AI par exemple), la réponse peut varier du tout au tout : une preuve empirique (et fausse), une recherche sur le Web du problème qui commence à être connu, un début de démonstration impliquant la convergence ou la divergence d'une série... </div> ::: ----  ## Scénario de l'activité :::success <div style="text-align : left; font-size: 70%;"> ### Une première approche : demander à une IA <p>Quelques exemples de réponses:</p> <div style="text-align : left;"> * "le rayon tend vers l'infini car il augmente toujours un petit peu" * "la suite des rayons $R_n$ est croissante et non bornée, donc elle diverge" * "la suite tend vers 1" * [après une longue démonstration trigonométrique] "$\dfrac{2}{2} = 2$, donc la suite tend vers 3" </div> ::: ----  ## Scénario de l'activité :::info <div style="text-align : left; font-size: 70%;"> ### Deuxième séance : résolution algorithmique On propose une activité, à donner en devoir à la maison ou en classe, qui décompose le problème pour exprimer le rayon $R_n$. On construit alors un programme qui va permettre une résolution algorithmique du problème. On peut éventuellement construire une troisième séance pour encadrer la suite des rayons et prouver sa convergence. </div> ::: ---  :::warning ## Documents fournis : <div style="text-align : left; font-size: 90%;"> * Fiche enseignant : présentation de la séquence en [pdf](http://mathematiques.wp.ac-dijon.fr/wp-content/uploads/sites/41/2025/06/IA-et-polygones-concentriques-fiche-prof.pdf). * Fiche élèves : [pdf](http://mathematiques.wp.ac-dijon.fr/wp-content/uploads/sites/41/2025/06/Activite-polygones.pdf). * Prologement : [pdf](). * Archive zip contenant [l'ensemble des documents de la séquence (y compris sources de la fiche élèves et retour d'expérimentation en classe)](http://mathematiques.wp.ac-dijon.fr/wp-content/uploads/sites/41/2025/06/IA-et-polygones-concentriques.zip)  </div> :::