Comment donner une approximation de la racine carrée de 2 ?

#### Esprit critique ### Comment donner une approximation de $\sqrt{2}$ ? #### TRAAM Dijon <div class="r-stack"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_394bc487ab8e9a479850b8f55e897ef4.png" width="150" style="border: 0pt ;" position="left" ><span > &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp;</span><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_9c4e61014804c2c909dbb61550ac4e1e.png" width="150" style="border: 0pt"> </div>  ---  <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_12e41205a327173976a2498acd837f8f.jpg" width="150" style="border: 0pt "> Scénario réalisé dans la cadre des TRAAM 2023-2024 : **Quelles activités mathématiques pour former l’esprit critique des élèves ?** ###### Auteurs : Mathieu Bartozzi et Meryem Khouil ###### Première spécialité <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_403450656a3d5e867dd9c9a4674c2f6b.jpg" width="80" style="border: 0pt"> ---  <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 80%; "> * **Niveau éducatif :** 1ère générale * **Domaine d’enseignement :** Enseignement de la spécialité mathématique au lycée. * **Thème du programme :** Fonctions, Suites, Algorithmique. * **Compétences requises :** -- Quelques notions python: Définition d’une fonction, test, boucle, compteur (un plus). -- Etude d’une suite. </div> ----  #### **Présentation du scénario :** <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 80%; "> - Cette séquence destinée à des élèves de première générale met en avant plusieurs objectifs d’apprentissage. - Elle met en relief le [biais d’ancrage](https://biais-cognitif.com/biais/biais-dancrage/), un biais cognitif qui décrit la tendance des individus à s’appuyer fortement sur la première information qu’ils reçoivent. </div> ----  <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 90%; "> :::success <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 80%; "> ### **Objectifs des séances**: Amener les élèves à exercer leur esprit critique en prenant appui sur l‘histoire de racine 2. Motiver les élèves à s'interroger et à mettre en application leurs réflexions. Développer l'esprit critique en les amenant à comparer les résultats de deux méthodes. Réutiliser les notions de suites dans un nouveau contexte. Développer leurs connaissances en python à travers la compréhension et l’application d’un algorithme. Initier les élèves à la modélisation mathématique et dans un sens plus large à la recherche scientifique. </div> </div> ::: </div></div> ----  <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 90%; "> :::success <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 80%; "> ### **Démarche de l’enseignant** : L’idée est de faire participer les élèves à une réflexion scientifique leur permettant de faire une comparaison détaillée entre deux méthodes différentes d’approximation de la racine carrée de 2. Au cours de ce scénario, on laissera d’abord les élèves construire leur propre réflexion en partageant leurs idées autour d’un débat préalable. Ensuite on leur proposera d’élaborer en groupe une première méthode d’approximation de $\sqrt{2}$ à l’aide d’outils simples (ciseaux, corde ou tige de 1m) le but étant de les initier à la modélisation mathématique et d’aiguiser leur esprit critique. </div> </div> ::: </div></div> ----  <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 90%; "> :::success <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 80%; "> ### **Déroulement du scénario** : Dans un premier temps, aucune mise en scène particulière n’est attendue. On expliquera l’objet de l’étude à travers l’histoire de l’approximation de $\sqrt{2}$ obtenue par les babyloniens et par les égyptiens. On demandera ensuite aux élèves de conduire l’expérience qui consiste à construire un carré de côté 1m à l’aide de cordes puis de retrouver une approximation de la diagonale du carré en utilisant uniquement des cordes de 1m et des ciseaux. On procédera par la suite à l’explication de la méthode de Héron, d’abord à travers un schéma initiant cette méthode puis par l’exécution de l’algorithme à la main et à l’aide d’un outil numérique. </div> </div> ::: </div></div> ---  #### Méthode de Héron <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 60%; text-align : justify; font-size: 70%; "> Le procédé de l’algorithme de Héron est très simple. En prenant un rectangle de côté $1$ et $2$, l’aire de ce rectangle est égale à $2$. La racine carrée de $2$ correspond au côté du carré que l’on obtiendrait en déformant notre rectangle mais en conservant sa surface égale à $2$. Héron propose de construire progressivement ce carré en partant de notre rectangle de côtés $1$ et $2$. On part donc d’un encadrement de racine $2$ par deux nombres : $a_1=1$ et $b_1=2$, correspondant respectivement à la largeur et longueur du rectangle. </div><div style="width : 20px"></div><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_7e804d5217d4d3234424141be6c92a2c.jpg" width="350" style="border: 0pt " text-align="center"> </div> ----  <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 70%; "> L’objectif est de calculer des valeurs successives de la largeur et de la longueur d’un rectangle dont la forme se rapproche peu à peu du carré recherché. On obtient $b_2$ en calculant la moyenne de nos deux bornes initiales ($a_1$ et $b_1$), soit $b_2=\dfrac{3}{2}$. Puis, on déduit la valeur exacte de $a_2$ sachant que $a_2$ x $b_2=2$, soit $a_2=\dfrac{4}{3}$. On procède de la même façon et on obtient: $b_3=\dfrac{17}{6}$ et $a_3=\dfrac{12}{17}$. A présent, on peut proposer une forme récurrente des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ qui correspondent à notre algorithme. </div> </div> ----  <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 70%; "> On admet que les deux suites sont strictement positives pour tout entier naturel $n>0$: <div style="text-align : center;"> $\left\lbrace \begin{array}{l} b_1=2\\ b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\end{array}\right.$ </div> et : <div style="text-align : center;"> $\left\lbrace \begin{array}{l} a_1=1\\ a_{n+1}=\dfrac{2}{b_n}=\dfrac{4}{a_n+b_n}\end{array}\right.$ </div> </div> </div> ----  <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 65%; text-align : justify; font-size: 70%; "> En utilisant la calculatrice pour le graphique des deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$, on remarque que les deux suites semblent converger vers le même nombre et que l'on obtient une approximation de ce nombre dès le rang $n=8$. </div><div style="width : 20px"></div><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_7059f4820a348db2227f287c333cea7e.jpg" width="350" style="border: 0pt " text-align="center"> </div> ----  ### Script Python <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 50%; text-align : justify; font-size: 70%; "> ``` python= # sans compteur def racine_de_deux_heron(n): e=10**(-n) largeur = 1 longueur = 2 while longueur-largeur > e : longueur = (longueur+largeur)/2 largeur = 2/longueur return largeur ``` </div><div style="width : 50%; text-align : justify; font-size: 70%; "> ``` python= # avec compteur def racine_de_deux_heron(n): e=10**(-n) c=0 largeur = 1 longueur = 2 while longueur-largeur > e : longueur = (longueur+largeur)/2 largeur = 2/longueur c+=1 return largeur,"le nombre d'itération effectuées est",c ``` </div> </div> <div style="width : 100%; text-align : justify; font-size: 70%; "> ``` python racine_de_deux_heron(5) ``` (1.41421143847487, "le nombre d'itération effectuées est", 3) </div> ---  #### Prolongement possible : <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 70%; "> La méthode de Héron peut permettre également de déterminer la racine cubique de $2$. Pour déterminer la racine cubique, nous allons chercher la longueur des côtés d’un cube de volume $2$, à partir d’un parallélépipède de même volume mais de hauteur $2$, et de base carrée $1$. </div> </div> ---  <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 90%; "> :::info <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 80%; "> ### **Appréciations et remarques des élèves** : Après l’étude de la méthode de Héron, les élèves trouvent que cette méthode est assez intuitive et qu’ils auraient pu établir cela eux-mêmes avec un peu plus de réflexion. Ils ont apprécié pouvoir débattre et élaborer ensemble une méthode qui malgré imprécise s’approche légèrement de l’approximation de Héron. Ils ont compris qu’un résultat doit être accompagné d’une précision pour pouvoir le mesurer et le comparer à d’autres résultats obtenues par d’autres méthodes. </div> </div> ::: </div></div> ---  :::warning ### Documents fournis : <div style="text-align : left; font-size: 70%;"> * [Fiches de présentation de la séance](http://mathematiques.ac-dijon.fr/IMG/pdf/ficheprof-3.pdf) * [Fiches élèves ](http://mathematiques.ac-dijon.fr/IMG/pdf/fichetraam.pdf) * Archive complète contenant tous les doucuments et les sources au format ([zip](http://mathematiques.ac-dijon.fr/IMG/zip/racinede2.zip)) </div> :::