Sommes infinies

## Esprit critique # Sommes infinies ### TRAAM Dijon <div class="r-stack"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_394bc487ab8e9a479850b8f55e897ef4.png" width="150" style="border: 0pt ;" position="left" ><span > &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp;</span><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_9c4e61014804c2c909dbb61550ac4e1e.png" width="150" style="border: 0pt"> </div>  ---  <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_12e41205a327173976a2498acd837f8f.jpg" width="150" style="border: 0pt "> Scénario réalisé dans la cadre des TRAAM 2023-2024 : **Quelles activités mathématiques pour former l’esprit critique des élèves ?** ###### Auteur : Olivier Crouzet ###### Terminale Spécialité ou Maths complémentaires <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_403450656a3d5e867dd9c9a4674c2f6b.jpg" width="80" style="border: 0pt"> ---  ## On sait calculer $1-1+1-1$ ### Que peut-on dire de cette somme si on la poursuit à l'infini ? ---  <div style="width : 100%; text-align : left;"> ## Objectif <p style="text-align : left;"> Dans cette activité, on va s'interresser aux sommes infinies de réels et proposer des pistes pour évaluer leur valeur. On souhaite ainsi amener les élèves à prendre conscience que même en mathématique il est possible d'être confronter à des biais cognitifs si l'on y prend pas garde. </p> ----  ## Esprit critique <p style="text-align : left;"> L'activité permet de mettre en évidence plusieurs biais cognitifs : * le [biais d'ancrage](https://biais-cognitif.com/biais/biais-dancrage/) : on parle de <b>somme</b> et cela va conduire les élèves à faire référence aux sommes finies qu'ils connaissent et aux propriétés de ces dernieres (commutativité, distributivité ...). * le [biais d'autorité](https://biais-cognitif.com/biais/biais-dautorite/) : c'est l'enseignant qui va introduire des propositions pour déterminer les valeurs des sommes infinies. </p> </div> ---  ## Scénario de l'activité :::warning <p style="text-align : justify; font-size: 90%; "> Le scénario est organisée en une <b>séance qui se suffit à elle-même</b> concernant la mise en relief des biais. Une seconde séance, en classe ou non, ouvre sur la poursuite de la réfexion sur les sommes infinies à l'aide du numérique, elle offre une possibilité de conjecturer la valeur de la somme infinie (ie : de la limite de la suite des sommes partielles).<br> Cette seconde séance peut se poursuivre lors de l'étude des intégrales par un exercice sur la série harmonique. </p> ::: ----  ## Scénario de l'activité :::success <p style="text-align : left; font-size: 70%; "> On considère A, B, S trois sommes distinctes, telles que :</p> <div style="font-size: 70%;"> $A=1-1+1-1+1-...$ $B=1-2+3-4+5-...$ $S=1+2+3+4+5+...$ </div> <p style="text-align : left; font-size: 70%;"> On présente pour chaque somme un calcul amenant une proposition de valeur. A chaque étape, on demande aux élèves de participer, et lorsque l'on obtient une proposition de valeur, on demande aux élèves ce qu'ils en pensent. </p> ::: ----  ## Scénario de l'activité :::success <p style="text-align : left; font-size: 70%;"> On aboutit à une proposition pour chaque somme :</p> <div style="font-size: 70%;"> $A=1-1+1-1+1-... = \dfrac{1}{2}$ $B=1-2+3-4+5-... = \dfrac{1}{4}$ $S=1+2+3+4+5+... = -\dfrac{1}{12}$ </div> <div style="text-align : left; font-size: 70%;"> Après ce temps, on revient sur le calcul de $A$ en changeant d'approche ce qui amène d'autres propositions de valeurs pour $A$ : $A=0$ ou $A=1$ Ainsi, il y a nécessairement des propositions fausses.</div> ::: ----  ## Scénario de l'activité :::success <div style="text-align : left; font-size: 70%;"> ### Une issue : définir les sommes infinies On pointe le fait que l'on n'a pas défini les sommes infinies et on propose comme définition la limite de la suite des sommes partielles. Puis, on traite une nouvelle somme infinie $P= 1 -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}...$ * On détermine sa valeur qui est finie. * On s'interroge sur la commutativité dans le cas où la suite des sommes partielle converge. </div> ::: ----  ## Scénario de l'activité ### Séance complémentaire :::info <p style="text-align : left; font-size: 80%;"> On propose de travailler sur la notion de sommes infinies à l'aide de l'algorithmique. </p> <p style="text-align : left; font-size: 80%; "> On revient sur la conclusion de la première séance et on met en place un algorithme simple pour conjecturer quelques sommes infinies particulières. Cette séance prend la forme d'une activité capytale.</p> <p style="text-align : left; font-size: 80%; "> On peut en complément proposer aux élèves de voir s'il est possible de conjecturer si une somme infinie converge.</p> ::: ---  :::warning ## Documents fournis : <div style="text-align : left; font-size: 90%;"> * [Fiche enseignant](http://mathematiques.ac-dijon.fr/IMG/pdf/ficheprof.pdf) pour l'ensemble de l'activité (prérequis, modalité de mise en oeuvre ...) * Diaporama pour le scénario principal : au [format pdf](http://mathematiques.ac-dijon.fr/IMG/pdf/presentationsommesinfinies.pdf) ou [au format codiMD](https://codimd.apps.education.fr/p/GMiO4VFTO#/) * [Fiche élève](http://mathematiques.ac-dijon.fr/IMG/pdf/ficheeleve.pdf) pour la séance complémentaire avec le lien pour récupérer l'[activité Capytale](http://capytale2.ac-paris.fr/web/b/3632467), et l'énoncé de l'exercice complémentaire. Une [archive zippée](http://mathematiques.ac-dijon.fr/IMG/zip/sommesinfinies.zip) qui contient tous ces élèments ainsi que les sources et le retour d'expérimentation est aussi disponible. </div> :::