# BEZIER ## barycentre, matrice , fonction, combinatoire & co  --- # barycentre ## MOYENNE PONDEREE ## CENTRE DE GRAVITE ---- Le barycentre des points A et B affectés des masses a et b (a + b non nul) est l'unique point G tel que $a\vec{GA}+b\vec{GB}=\vec{0}$ Les coordonnées de G sont alors $x_G=\frac{ax_A+bx_B}{a+b}$ $y_G=\frac{ay_A+by_B}{a+b}$ $z_G=\frac{az_A+bz_B}{a+b}$ ---- Le nombre de points peut passer à trois points, quatre points et se généraliser à n points. Si la somme des masses ai est non nulle, le barycentre du système ${(Ai, ai )}_i ∈ \{1 ; n \}$ est le point G tel que :-1: $\sum_{i=1}^na_i\vec{GA_i}=\vec{0}$ ---- Ainsi, le centre de gravité du triangle est exactement l'isobarycentre des sommets du triangle, c'est-à-dire que ${\displaystyle {\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}={\overrightarrow {0}}.}$ ----  1. Déterminer la position du point d’équilibre dans les cas suivants : • m = 1 et m′ = 1 ; • m = 2 et m′ = 1 ; • m = 3 et m′ = 5 ---- Le mobile du schéma suivant est formé de tiges et de fils de masses négligeables tel que AB = 30 cm et CD = EF = 10 cm et de sept billes de 10 g chacune. Il est en équilibre. Déterminer les positions exactes de I, J et G.   ----  #### Balance romaine Contrairement à une balance classique, dans une balance romaine, les deux bras du fléau n’ont pas la même longueur. Le bras du côté de la masse inconnue a une longueur constante alors que la longueur du bras qui supporte le contre-poids est variable ---- Même question avec les mobiles du schéma 3 page suivante. ---- - Dans cette balance, on n’obtient pas l’équilibre en égalisant les deux masses, mais en agissant sur la longueur du bras qui porte le contre-poids. - L’équilibre se fait lorsqu’en déplaçant ce contre-poids le long de sa tige, le fléau atteint la position horizontale. - Le bras le plus long porte des divisions avec indication des poids correspondants. - Il suffit alors de lire le poids de l’objet. - Il faut noter que la différence de longueur entre les bras permet de peser des charges beaucoup plus importantes que celle du contre-poids. ---- Pour cette activité on modélisera une balance romaine de la façon suivante : • la balance est constituée d’une tige AB indéformable et de masse négligeable telle que AB = 2,5 m ; • la balance est fixée au plafond en G, tel que BG = 0,5 m ; • la masse inconnue m est fixée au bout d’un crochet de masse négligeable fixé en B ; • un contre-poids de deux kilogrammes est fixé en M au bout d’un crochet de masse négligeable, tel que M ∈ [AB]. On note x = MG. ----  ---- https://images.math.cnrs.fr/Mobiles-de-Calder  ----  Interaction: https://homeomath2.imingo.net/bary1.htm https://www.geogebra.org/m/b3ku3uzp ---- https://images.math.cnrs.fr/Une-tour-de-cartes-qui-penche-a-l-infini  ---- https://images.math.cnrs.fr/Le-logo-du-CNRS.html A (1,1) et B(5,3), alors le milieu du segment AB a pour coordonnées (1+52,1+32)=(3,2). On note souvent ce milieu comme une moyenne des deux points : $\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B$   ---- https://images.math.cnrs.fr/Poids-poulies-et-point-de-Fermat-Steiner.html  ---- <iframe width="100%" height="500" src="https://www.geogebra.org/m/r9JpfesY#material/P8HwSFAk" sandbox> </iframe> ----  ----  ---- https://chingmath.fr/hp-lycee/barycentres/ressources <iframe width="100%" height="500" src="https://chingmath.fr/ress595-0-1.pdf" sandbox> </iframe> --- # barycentres des exos ---- https://chingmath.fr/hp-lycee/barycentres.pdf <iframe width="100%" height="500" src="https://chingmath.fr/hp-lycee/barycentres.pdf" sandbox> </iframe> ----  ---- --- # courbe de BEZIER constructions ----  ----  ----  ---- 1 <iframe width="100%" height="500" src=" https://www.geogebra.org/m/nkqs3rbs" sandbox> </iframe> ---- 2 <iframe width="100%" height="500" src=" https://www.geogebra.org/m/JPNHEgmh " sandbox> </iframe> --- # courbe de Bézier [wikipedia](https://www.wikiwand.com/fr/Courbe_de_B%C3%A9zier#Applications) ## videos ---- {%youtube 2pNjW-2944Y %} ---- {%youtube Hm-HO-HtVYo %} ---- {%youtube _Z07z13Tol4 %} ---- {%youtube IUQwQdabhNM %} ---- {%youtube aVwxzDHniEw %} ---- {%youtube jvPPXbo87ds %} ---- --- # animations ----  ---- <iframe width="100%" height="500" src="https://www.jasondavies.com/animated-bezier/" > </iframe> ---- [](https://www.vous-et-nous.eu/uploads/exercices/svg/bezier.svg ) --- # histoire ---- []( http://www.mathom.fr/sites/default/files/ADS/Bezier.pdf#page=7) ---- <iframe width="100%" height="500" src="https://laforetdessciences.wordpress.com/2019/03/21/les-belles-carrosseries/" > </iframe> ---- [](https://citeseerx.ist.psu.edu/pdf/1f4d1ef865272e3976539e61bb184adca4f4525a) --- # aspect polynome ---- <iframe width="100%" height="500" src="https://pomax.github.io/BezierInfo-2/#explanation" > </iframe> [en français](https://pomax-github-io.translate.goog/bezierinfo/?_x_tr_sl=auto&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=wapp#explanation) ---- $(t + (1 - t))^n = 1$ et $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n{n\choose k} \cdot a^kb^{n-k}$$(Newton) ---- donne $$(t+(1-t))^n = \sum_{k=0}^n{n\choose k} \cdot t^k(1-t)^{n-k}$$ avec $B_k^n ( t) = {n\choose k} \cdot t^k(1-t)^{n-k}$, $k \in \{0,...,n\}$ polynome de Bernstein, avec ${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ---- ## cas n=1 $B_k^1 ( t) = {1\choose k} \cdot t^k(1-t)^{1-k}$ - $B_0^1 ( t) = {1\choose 0} \cdot t^0(1-t)^{1-0}=1-t$ - $B_1^1 ( t) = {1\choose 1} \cdot t^1(1-t)^{1-1}=t$ ---- ## cas n=2 $B_k^2 ( t) = {2\choose k} \cdot t^k(1-t)^{2-k}$ - $B_0^2 ( t) = {2\choose 0} \cdot t^0(1-t)^{2-O}=(1-t)^2$ - $B_1^2 ( t) = {2\choose 1} \cdot t^1(1-t)^{2-1}=2t(1-t)$ - $B_2^2 ( t) = {2\choose 2} \cdot t^2(1-t)^{2-2}=t^2$ ----  ---- Etant donné n+1 points (P0, …, Pn)appelés points de controle, la courbe de Bézier définit par ces points est : $$P(t)=\sum_{k=0}^nB_k^n ( t)\cdot P_k$$ avec $0\leq t \leq1$ ---- **cas n=1** $P(t)=B_0^1 ( t)\cdot P_0+B_1^1 ( t)\cdot P_1=(1-t)P_0+tP_1$ P se balade entre $P_0$ et $P_1$ ---- **cas n=2** $P(t)=B_0^2 ( t)\cdot P_0+B_1^2 ( t)\cdot P_1+B_2^2 ( t)\cdot P_2$ $P(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2$ P se passe par $P_0$ et $P_1$ , pas par $P_2$ --- # aspect matrice ---- <iframe width="100%" height="500" src="https://pomax.github.io/BezierInfo-2/#matrix" > </iframe> https://pomax-github-io.translate.goog/bezierinfo/?_x_tr_sl=auto&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=wapp#matrix ---- <iframe width="100%" height="500" src="https://www.geogebra.org/classic/bj4fhwn8" > </iframe> --- # avec python ---- https://download.tuxfamily.org/tehessinmath/les%20pdf/JA2015Bezier.pdf  --- # à voir ---- ## courbes et surfaces []( https://ciechanow-ski.translate.goog/curves-and-surfaces/?_x_tr_sl=auto&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=wapp ) --- ## des tps ---- http://math.teulie.free.fr/documents/btscrsa2/tp_info/tp_08_geogebra.pdf  --- ## concours général https://euler.ac-versailles.fr/IMG/pdf/cg_s_2018.pdf <iframe width="100%" height="500" src=" https://euler.ac-versailles.fr/IMG/pdf/cg_s_2018.pdf#page=2 " sandbox></iframe> ---- https://euler.ac-versailles.fr/IMG/pdf/cg_2018_correction_s.pdf <iframe width="100%" height="500" src=" https://euler.ac-versailles.fr/IMG/pdf/cg_2018_correction_s.pdf " sandbox></iframe> --- # svg ---- https://svg-path-visualizer.netlify.app/#M%2030%2075%20Q%20240%2030%2C%20300%20120 <iframe width="100%" height="500" src="https://svg-path-visualizer.netlify.app/#M2%2C2%20Q8%2C3%2010%2C8" sandbox></iframe> ---- <iframe src="https://trinket.io/embed/html/5cd2750f99" width="100%" height="600" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" allowfullscreen></iframe> ---- https://lyceealaincolas.fr/wp-content/uploads/2022/09/maths-dnm-SVG.pdf  ---- https://fr.javascript.info/bezier-curve  ---- https://math.univ-lyon1.fr/irem/Formation_ISN/formation_svg/path/path.html  ---- http://mathartung.xyz/siteICN/svg_a1.html  ---- http://uncledens.chez-alice.fr/divers/hexagone/index.htm  ---- http://uncledens.chez-alice.fr/divers/drapeau/drapeau.htm  ---- https://www.darchevillepatrick.info/svg/svg1.php#corps  ---- **Stage MathC2+** [Activité autour du dessin vectoriel et des Sangaku](https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/medias/fichier/fichierseleves2017_1558356936676-zip?ID_FICHE=106201&INLINE=FALSE) --- https://accromath.uqam.ca/wp-content/uploads/2017/09/Typographie.pdf  --- https://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/IMG/pdf/brochure_numero_47_-_courbes_de_bezier_et_b._splines.pdf <iframe width="100%" height="100%" src=" https://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/IMG/pdf/brochure_numero_47_-_courbes_de_bezier_et_b._splines.pdf " sandbox></iframe> --- http://www.christianboyer.com/jumieges/rabutcolloquebezier.pdf http://docs.les-renault-d-avant-guerre.com/Section_d_Histoire_des_Usines_Renault.pdf http://www.sens-neuchatel.ch/bulletin/no34/art3-34.pdf --- [La vie de De Casteljau]( https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=4497291) --- <div style="text-align:center;"><div style="margin:8px 0px 4px;"><a href="https://www.calameo.com/books/0065226585d511881a2d2" target="_blank">2008 04 Bezier</a></div><iframe src="//v.calameo.com/?bkcode=0065226585d511881a2d2&mode=mini" width="480" height="600" frameborder="0" scrolling="no" allowtransparency allowfullscreen style="margin:0 auto;"></iframe><div style="margin:4px 0px 8px;"><a href="http://www.calameo.com/" target="_blank">Lire plus de publications sur Calaméo</a></div></div> --- Spline <iframe width="100%" height="500" src="https://forum-labomaths.site.ac-lille.fr/wp-content/uploads/sites/64/2024/07/COURBES-DE-BEZIERS.pdf" > </iframe> --- []( http://lyceeenligne.free.fr/IMG/pdf/Bspline-Cours.pdf) --- Représentation des courbes et des surfaces https://nuage03.apps.education.fr/index.php/s/K3rq3BzcP2akYZP --- FicheScientifiqueBezier https://sancy.iut.uca.fr/~iso/docs/bezier/FicheScientifiqueBezier.pdf --- en 3d <div class="colum"> <div > a = lerp( p[0], p[1], t ) b = lerp( p[1], p[2], t ) c = lerp( p[2], p[3], t ) d = lerp( a, b, t ) e = lerp( b, c, t ) point = lerp( d, e, t ) </div ><div > <iframe width="100%" height="100%" src="https://video.twimg.com/tweet_video/ER-Vyg6XkAEgrup.mp4" sandbox></iframe> </div > </div >