Approximation de $\pi$, plusieurs approches.

### Esprit critique ## Approximation de $\pi$, plusieurs approches. ### TRAAM Dijon <div class="r-stack"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_394bc487ab8e9a479850b8f55e897ef4.png" width="150" style="border: 0pt ;" position="left" ><span > &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp;</span><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_9c4e61014804c2c909dbb61550ac4e1e.png" width="150" style="border: 0pt"> </div>  ---  <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_12e41205a327173976a2498acd837f8f.jpg" width="150" style="border: 0pt "> Scénario réalisé dans la cadre des TRAAM 2023-2024 : **Quelles activités mathématiques pour former l’esprit critique des élèves ?** ###### Auteur : Sarma Ramesh ###### Première spécialité <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_403450656a3d5e867dd9c9a4674c2f6b.jpg" width="80" style="border: 0pt"> ---  ### Approximation de $\pi$, plusieurs approches... <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_8c5a9ba7beb2b76061e56f54986cc84a.jpg" height="300" style="border: 0pt"> ---  ### **Esprit critique et numérique**. <div style="display: flex; justify-content: center; align-items: center;"> <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 80%; "> Le développement de l’esprit critique est au centre de la mission assignée au système éducatif français. Présent dans de nombreux programmes d’enseignement, renforcé par l’attention désormais portée à l’éducation aux médias et à l’information, le travail de formation des élèves au décryptage du réel et à la construction, progressive, d’un esprit éclairé, autonome, et critique est une ambition majeure de l’École. Les mathématiques jouent un rôle particulier dans le développement de l'esprit critique par l'usage de la démonstration , et de la place importante du raisonnement, et de la modélisation. </div></div> ---  ### Contrat didactique et biais d'autorité : <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 80%;"> Le [biais d'autorité](https://biais-cognitif.com/biais/biais-dautorite/) est catalogué parmi les biais cognitifs de la manière suivante: Surévaluer la valeur de l'opinion d'une personne que l'on considère comme une autorité,craindre de contredire un expert ou un supérieur. Un esprit critique aguerri est nécessaire pour neutraliser les conséquences de cette distorsion. Plusieurs grilles de compétences existent pour décrire les différentes facettes de l'esprit critique: nous nous servirons de la grille suivante, et nous en profitons pour tenter de baliser les compétences pluri-disciplinaires investis par les élèves investis: </div> ----  <div style="width : 100%; text-align : justify; font-size: 90%;"> :::success ## **Objectifs des séances**: 1. Affiner l'**esprit critique**: * amener les élèves à exercer leur esprit critique en prenant appui sur la manipulation en mathématiques, * développer l’esprit critique en les amenant à se questionner sur quelques définitions possibles de $\pi$ * développer une démarche d’investigation afin de permettre aux élèves de se questionner, d’émettre des hypothèses, de les vérifier, d’observer le résultat, de conclure. ::: </div> ----  <div style="width : 100%; text-align : justify; font-size: 90%;"> :::success ## **Objectifs des séances**: 2- Développer les **compétences mathématiques**. * Chercher * Modéliser * Représenter * Raisonner * Calculer * Communiquer ::: </div> ----  <div style="width : 100%; text-align : justify; font-size: 90%;"> :::success ## **Objectifs des séances**: 3- Développer **les compétences numériques**: A quoi sert le numérique dans ces séances? Ces séances développent plusieurs compétences du CRCN. * Traiter des données * Programmer * Evoluer dans un environnement numérique. ::: </div> ---  ## Plan du scénario : <div style="width : 100%; text-align : justify; font-size: 90%;"> * Séance 1 : Séance introductive de 45 minutes (prévoir un double décimètre et un fil) * Séance 2 : Séance activité Capytale (55 minutes) * Séance 3 : Séance activité Capytale (55 minutes) * Séance 4 : Séance activité Capytale (55 minutes) </div> ----  <div style="width :95%; text-align : justify; font-size: 60%;"> ### [Séance 1](https://codimd.apps.education.fr/p/tK95WnbSG#/) : Introduction: L'enseignant commence par questionner les élèves à l'oral sur ce qu'ils entendent par $\pi$. On attend d'eux qu'ils tirent des formules mémorisées une définition possible de ce nombre. Posée de manière abrupte, cette simple question est difficile: les élèves ont vu passer ce nombre, dans les cours de géométrie, et dans des formules de mesures associées au cercle ou au disque. Rarement de la formule donnant le périmètre d'un cercle, l'enseignant effectue une vérification expérimentale de sa justesse: à partir de ces formules avalées sans compréhension pour beaucoup, contrat didactique oblige: on ne remet pas en question l'expertise de l'enseignant, arriver à se dire que $\pi$ est la longueur d'un demi-cercle de rayon 1, n'est pas simple: $\pi$ se manipule, ne se définit pas, et ne semble qu'une évidence institutionnelle. </div> ----   <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 60%;"> ### [Séance 1](https://codimd.apps.education.fr/s/B0_k-NLHS#) : Après cet échange oral, un moyen de poursuivre la séance est de leur fournir du fil de couture, et de demander aux élèves de construire un cercle de rayon 1 dm, d'entourer la construction avec le fil que l'on déplie ensuite sur une règle afin d'en obtenir la longueur. Sur la page web associée à cette séance, on explore cette première définition de $\pi$, dont on calcule une valeur approchée par dépose d'une ligne brisée sur le demi-cercle, et évaluation de sa longueur. </div> ----   <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 90%;"> ### [Séance 2](https://capytale2.ac-paris.fr/web/b/3756965) : $\pi$ est longueur du demi-cercle de rayon 1. Dans cette séance, on ravive des compétences mathématiques: calcul de longueur entre deux points, la fonction $f$ définie algébriquement par $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ donne un demi-cercle,etc, et on exploite les compétences numériques des élèves dans l'utilisation d'un tableur... </div> ----  <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 90%;"> ### [Séance 3](http://capytale2.ac-paris.fr/web/b/3760085) : $\pi$ est toujours longueur du demi-cercle de rayon 1. Dans cette séance, on fait de la programmation python pour retrouver une approximation de $\pi$ avec le même principe que celui mis en oeuvre précédemment . On en profite aussi pour calculer la longueur d'autres courbes... </div>  ----  <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 90%;"> ### [Séance 4](http://capytale2.ac-paris.fr/web/b/3759333) : Cette fois-ci, on s'appuie sur une deuxième définition de $\pi$ : on commence la séance par un échange oral, et la question fondamentale : peut-il y avoir deux définitions d'un même objet, et comment faire pour s'assurer de la cohérence logique en agissant ainsi? Le reste de la séance est une vérification expérimentale de l'approximation de $pi$ ainsi obtenue, avec la méthode de criblage de Monte-Carlo.( Algorithmique sur Python), et un début d'explication théorique de la cohérence des définitions avec la [méthode des indivisibles de Cavalieri](https://https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_indivisibles). ----   <div style="width : 95%; text-align : justify; font-size: 90%;"> ### [Séance 4](http://capytale2.ac-paris.fr/web/b/3759333) : ***Prolongement possible*** : On peut également vérifier d'autres définitions possibles de $\pi$: par exemple, en admettant qu'il s'agit du nombre positif vérifiant $\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...$ Pas d'explication théorique aisée cependant au lycée. ---  :::warning ### Documents fournis : <div style="text-align : left; font-size: 70%;"> Aucun document à imprimer n'est fourni pour ce scénario : * Pour la première séance, il est possible de s'appuyer sur le [diaporama fourni](https://codimd.apps.education.fr/p/tK95WnbSG#/) pour mener l'activité. * Pour les trois séances suivantes, il faut auparavent copier à partir de la bibliothèque de Capytale les trois activités afin de pouvoir mettre ensuite à disposition de chaque élève un code ou un url de partage. Sinon, il est possible de créer pour chaque séance une activité Capytale type notebook et charger le fichier notebook correspondant fourni dans l'archive du scénario. * [Résumé de cette présentation](http://mathematiques.wp.ac-dijon.fr/wp-content/uploads/sites/41/2025/05/FicheProf-1.pdf) a destination des enseignants. * [archive zippée du scénario](http://mathematiques.wp.ac-dijon.fr/wp-content/uploads/sites/41/2025/05/Approximation-de-Pi.zip) qui contient les sauvegardes des activités Capytale correspondant au séance 2, 3 et 4 et </div> :::