Nombres et calculs - programme math cycle 4 - 5e

--- tags: Maths, cycle4 title: Nombres et calculs - programme math cycle 4 - 5e ---   Pour accéder au programme de mathématiques de cycle 3 : <a href="https://codimd.apps.education.fr/s/R-N-hbQka" target="_self">CLIQUEZ ICI</a> <table class="tg" style="undefined;table-layout: fixed; width: 750px"><colgroup> <col style="width: 180px"> <col style="width: 600px"> <col style="width: 62px"> <col style="width: 62px"> <col style="width: 62px"> </colgroup> <thead> <tr> <th class="tg-baqh" colspan="2" style="background-color:rgb(99,64,33);">Mathématiques au cycle 4 Programme et ressources </th> <th class="tg-baqh" colspan="3" style="background-color:rgb(99,64,33);"><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9d5e42c4455ebeaa5829c8f12.png"></th> </tr></thead> <tbody> <tr> <td class="tg-c3ow" rowspan="8"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9f2cfcf92000be7ea77ec0145.png"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_41baf353f9b90cd2820ccc09db7c67c9.png" width="100"> Cette page sur mobile <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/f9g2m3itgbov6pl4tfhh0vnu5.png"> </td> <td class="tg-0pky" colspan="4"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/OePHSy8VU#lecture" target="_self">Accueil</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/z_ScT26zd#lecture" target="_self">Principes</a></td> <td class="tg-c3ow" colspan="3"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/z_ScT26zd#lecture" target="_self">Cycle 4</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky-select">Nombres et calculs</td> <td class="tg-cm1-select"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/2tfoQVFZZ#lecture" target="_self">5e</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/vf8P25s7c#lecture" target="_self">4e</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/UuF8kDz3Z#lecture" target="_self">3e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">Espace et géométrie</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/6rn5cHr4C#lecture" target="_self">5e</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/gcBy0cnuH#lecture" target="_self">4e</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/tytr4D45W#lecture" target="_self">3e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">Organisation et gestion de données et probabilités</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/Aj12P6xed#lecture" target="_self">5e</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/KVPXZkOUP#lecture" target="_self">4e</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/uPJYwyU25#lecture" target="_self">3e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">Proportionnalité, fonctions</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/3N7_NY1mq#lecture" target="_self">5e</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/3xlMdq1OQ#lecture" target="_self">4e</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/rRP02jLm9#lecture" target="_self">3e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">La pensée informatique</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/r2v0pErFM#lecture" target="_self">5e</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/72GJzUlc6#lecture" target="_self">4e</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/8zK9fnYyj#lecture" target="_self">3e</a></td> </tr> </tbody></table> À tout moment de votre navigation dans ce document, retrouvez le tableau-menu en haut de page.  Nombres et calculs <details> <summary class=rubrique>Introduction</summary> Au cycle 4, la partie nombres et calculs du programme s’enrichit de nombreuses nouvelles notions. Les élèves découvrent ainsi de nouvelles catégories de nombres avec lesquels ils réalisent des calculs et qu’ils mobilisent pour résoudre des problèmes. Les nombres relatifs sont introduits afin de rendre possible toutes les soustractions. Les opérations sur les nombres relatifs sont construites progressivement. Une pratique routinière de calculs additifs et soustractifs permet de se détacher progressivement des contextes familiers, ce qui est un préalable à une bonne compréhension de la multiplication et de la division. La conception du nombre fraction abordée au cycle 3 est étendue aux nombres relatifs en écriture fractionnaire, ainsi qu’au quotient ou rapport écrit sous forme fractionnaire avec des nombres quelconques. Par souci de cohérence, le programme fixe le vocabulaire suivant :<ul> <li> on appelle quotient le résultat d’une division ou l’expression d’une division ; les deux termes de la division sont des nombres ou des expressions ;</li> <li> une fraction est le quotient de deux entiers (numérateur et dénominateur), qui peut être vu comme un nombre, une expression, et aussi comme un opérateur (fraction d’une quantité) ;</li> <li> un nombre rationnel est un nombre égal au quotient de deux entiers, sans référence à une écriture particulière.</li></ul> Dans le programme, une fraction est à la fois un nombre et une écriture. On ne distingue pas fraction et écriture fractionnaire. Les apprentissages ne doivent pas se réduire à la seule maitrise des techniques opératoires. Tout au long du cycle, ils doivent être consolidés par la résolution de problèmes qui s’enrichissent à chaque opération abordée. Les situations doivent motiver les apprentissages, mais aussi les nourrir en permanence à travers des problèmes porteurs de sens.<ul> <li> Les opérations sur les fractions sont étendues à la multiplication et à la division.</li> <li> Les multiples et les diviseurs sont utilisés en lien avec les fractions, mais également dans le cadre de résolution de problèmes.</li> <li> La racine carrée est introduite, en lien avec des situations géométriques (longueur du côté d’un carré d’aire donnée, théorème de Pythagore).</li> <li> L’apprentissage des puissances se fonde sur des situations mathématiques illustrant, par exemple, un produit itéré, comme le comptage de situations répétitives, etc.</li> <li> L’apprentissage des puissances de dix prend appui sur des grands nombres issus de domaines scientifiques ou technologiques tels que l’astronomie, les sciences physiques, l’informatique, le traitement de l’information, pour ce qui est des exposants positifs. Les sciences de l’atome, la microbiologie, les sciences chimiques, les nanotechnologies fournissent des situations propices à côtoyer les exposants négatifs. Ce travail est mené en lien avec les unités, les ordres de grandeur, dans les autres disciplines, en particulier la physique-chimie. On introduit en fonction des besoins les préfixes des puissances de dix de nano à giga. On fait le lien avec les conversions.</li> <li> Ces situations doivent motiver les apprentissages, mais aussi les nourrir en permanence, à travers des problèmes porteurs de sens.</li> <li> Ces notions se prêtent particulièrement à une approche interdisciplinaire par l’étude des problématiques liées au calendrier, à l’informatique, aux engrenages, à la conjonction de phénomènes périodiques et aux cycles d’éclosion de certaines espèces, provenant de la physique, de la technologie et des sciences de la vie et de la Terre.</li></ul> Tout au long du cycle, l’introduction du calcul littéral vient progressivement enrichir, diversifier et formaliser ces premières rencontres avec la lettre et le signe égal. Le calcul littéral permet alors d’aller au-delà du cadre purement numérique, tout en restant connecté à celui-ci afin d’assurer une validation des expressions obtenues. Au cycle 3, les élèves ont été exposés à différents usages de la lettre en mathématiques, notamment comme symbole d’une unité, comme désignation d’un objet mathématique (exemple : le point A, le nombre π, le volume V, etc.) ou encore comme variable dans des formules. Ils ont également rencontré différentes interprétations du signe « = », qu’il s’agisse d’indiquer le résultat d’un calcul, une égalité à compléter ou une assignation. L’introduction du calcul littéral repose sur le développement d’une pensée algébrique, appuyée sur des manipulations concrètes et des représentations adaptées. Il ne doit pas se limiter à des exercices techniques, bien que ceux-ci soient indispensables. Son objectif principal est de permettre la généralisation, la démonstration et la modélisation. Il doit ainsi être intégré à la résolution de problèmes concrets ou internes aux mathématiques, qui en justifient l’usage et en renforcent la pertinence. </details>  <details open> <summary class=cm1_fonce>Cinquième</summary> <BLOCKQUOTE class=cm1_clair> <details> <summary class=rubrique>Opérations</summary> <BLOCKQUOTE> <details> <summary class=rubrique>Automatismes</summary> <ul> <li> Mobiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 vus en CM1 et CM2.</li> <li> Déterminer le quotient et le reste dans une division euclidienne, par exemple, savoir que 17 = 3 × 5 + 2.</li> <li> Utiliser les tables de multiplication pour factoriser des nombres entiers décomposables en produit de deux nombres différents de 1, par exemple, 21 = 3 × 7.</li> <li> Savoir calculer des produits en lien avec les tables : 0,6 × 7 ; 40 × 0,03.</li> <li> Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000.</li> <li> Additionner et soustraire des décimaux, par exemple, 2,7 + 1,4 ; 3,4 – 0,8.</li> </ul> </details> <details> <summary class=rubrique>Objectifs d'apprentissage</summary> <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td><ul> <li>Additionner, soustraire, multiplier et diviser pour résoudre des problèmes et contrôler la vraisemblance de son résultat.</li> <li>Connaitre le sens et les situations d’emploi de ces opérations.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> Dans le cadre de la résolution de problèmes, l’élève entretient ce qui a été vu au cycle 3. Il sait quand et comment utiliser les opérations élémentaires. Il contrôle la vraisemblance d’un résultat. La calculatrice peut être utilisée quand les calculs à la main sont trop fastidieux. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Diviser par un nombre décimal.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève ramène une division dont le diviseur est décimal à une division dont le diviseur est entier. Exemple : 1,5 ÷ 0,3 = 1,5 0,3= 15 3 =5. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Enchainer des opérations.</li> <li>Traduire un problème, une succession donnée d’opérations, un programme de calcul, en une seule expression, en faisant appel ou non à des parenthèses.</li> <li>Nommer un calcul, distinguer sommes et produits, termes et facteurs.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève identifie si l’expression est une somme ou un produit. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Connaitre et utiliser les priorités opératoires.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> Dans le cas d’enchainements d’opérations, avec ou sans parenthèses, par convention, la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.L’élève effectue mentalement, à la main ou exceptionnellement à la calculatrice, ces enchainements d’opérations. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Connaitre et utiliser la distributivité simple sur des exemples numériques.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> Sur des exemples numériques, l’élève utilise k(a + b) = ka + kb et k(a – b) = ka – kb. Par exemple : 27 × 99 ; 1,5 × 0,7 + 1,5 × 0,3. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Utiliser les notions de multiples et diviseurs. Connaitre les critères de divisibilité par 3 et par 9.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> À l’aide des tables de multiplication ou de la division euclidienne, l’élève utilise le vocabulaire « est un multiple de », « est divisible par », « est un diviseur de » et passe d’une formulation à une autre. Par exemple, « 27 est un multiple de 9 » ou « 27 est divisible par 9 » ou « 9 est un diviseur de 27 ». Il résout des problèmes faisant intervenir les notions de multiples, diviseurs, quotient et reste. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Mobiliser un algorithme dans le cadre du calcul numérique.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’algorithme de la division est l’occasion de faire vivre ces notions (trouver les diviseurs d’un nombre, compter le nombre de diviseurs etc.). C’est l’occasion d’utiliser le logiciel Scratch ou un tableur. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles</summary> <ul> <li>Notion de nombre premier et développements sur ce thème (existence d’un nombre infini de nombres premiers, crible d’Ératosthène, etc.).</li> </ul> </details> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Nombres relatifs</summary> <BLOCKQUOTE> <details> <summary class=rubrique>Automatismes</summary> <ul> <li> Additionner, soustraire, multiplier des nombres décimaux à une ou deux décimales.</li> <li> Savoir que pour compléter une addition à trou, on utilise une soustraction : 2 + ... = 7 se complète en calculant 7 – 2.</li> </ul> </details> <details> <summary class=rubrique>Objectifs d'apprentissage</summary> <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td><ul> <li>Définir les nombres relatifs.</li> <li>Définir l’opposé et la valeur absolue d’un nombre.</li><li>Définir la notion de nombre positif, strictement positif, négatif, strictement négatif.</li><li>Utiliser les nombres relatifs pour représenter des grandeurs observables qui peuvent prendre des valeurs inférieures à zéro (température, temps, altitude, etc.), en particulier dans le cadre de la résolution de problèmes.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> Pour tout nombre décimal a, il existe un unique nombre décimal b tel que a + b = 0. Le nombre b est alors noté (–a) et est appelé « l’opposé de a ». Ainsi –a = 0 – a et donc – (–a) = a. En lien avec le calcul littéral, l’élève remarque que –a n’est pas toujours un nombre négatif. Le terme « valeur absolue » est introduit mais ne fait pas l’objet d’exercice. La notation n’est pas exigible. La valeur absolue de a est définie comme égale à a si a est positif et –a si a est négatif et est illustrée à partir d’exemples. En référence à la droite graduée, l’élève donne la valeur absolue et l’opposé d’un nombre relatif. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Lire l’abscisse d’un nombre relatif sur une droite graduée et placer un nombre relatif d’abscisse donnée.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> La demi-droite graduée vue en 6e se complète par symétrie pour devenir une droite graduée. Les nombres décimaux relatifs rencontrés sont simples. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Comparer et ranger dans l’ordre croissant et décroissant des nombres décimaux relatifs.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> Utiliser les nombres relatifs pour comparer des nombres et verbaliser cette comparaison (5 c’est 2 de moins que 7) : 5 – 7 = –2 (–7 c’est 2 de moins que –5). Comparer deux nombres à l’aide de leur signe et de leur valeur absolue. Ranger plusieurs nombres relatifs dans l’ordre croissant ou décroissant. La droite graduée peut servir d’appui pour ces comparaisons. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Additionner deux nombres décimaux relatifs.</li><li>Additionner plusieurs nombres décimaux relatifs.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> La règle est d’abord explicitée en s’appuyant sur la définition des nombres opposés avec des exemples simples sur des entiers : Pour calculer (–6) + (–9), on écrit (–6) + (–9) + 6 + 9 = 0 donc (–6) + (–9) = – (6 + 9). Puis on simplifie des calculs tels que 6 + (–9) = 6 – 6 + (–3) = 0 – 3 = –3. Cette addition est illustrée dans des contextes variés, par exemple avec le bilan de deux variations ou l’application d’une variation à un état.L’élève additionne plusieurs nombres relatifs, écrits entre parenthèse ou en écriture simplifiée, par exemple en regroupant les termes positifs ensemble et les termes négatifs ensemble. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Soustraire deux nombres décimaux relatifs.</li> <li>Connaitre et justifier les situations dans lesquelles des parenthèses sont indispensables au sens des écritures.</li> <li>Simplifier l’écriture de sommes comportant des parenthèses.</li> <li>Enchainer additions et soustractions de décimaux relatifs.</li> <li>Résoudre des problèmes mobilisant addition et soustraction de nombres décimaux relatifs.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> En s’appuyant sur des additions à trous, ou sur des exemples à valeur générique du type : 3,1 – (–2) = 3,1 + 0 – (–2) = 3,1 + 2 + (-2) - (-2), Donc 3,1 – (–2) = 3,1 + 2 + 0 = 3,1 + 2 = 5,1 l’élève établit que soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé. Il distingue les différentes significations du signe – (le marqueur du nombre négatif, la soustraction entre deux nombres, l’opposé d’un nombre relatif). Afin de consolider l’addition et la soustraction, l’élève effectue des enchainements d’opérations. (–3) + (–4) – (+5) – (– 2) = –3 – 4 – 5 + 2 = –12 + 2 = –10 L’élève manipule des expressions avec parenthèses afin, notamment, d’identifier les cas de parenthèses indispensables au sens des écritures : (–2), –(–2) = 2(et donc 3 – (–2)), –(2 + 3), 3 + (–2), –(2 – 3) L’élève effectue efficacement certains calculs qui s’y prêtent, en regroupant les nombres opposés et/ou les termes de même signe. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles</summary> <ul> <li>Premières apparitions des nombres négatifs avec Brahmagupta (600), dont l’existence était toujours niée au XVIIe siècle.</li> </ul> </details> </BLOCKQUOTE> </details><details> <summary class=rubrique>Nombres rationnels</summary> <BLOCKQUOTE> <details> <summary class=rubrique>Automatismes</summary> <ul> <li>Entretenir la connaissance et l’utilisation des tables de multiplication.</li> <li>Entretenir l’écriture décimale des fractions simples comme 1 2 ; 1 4 ; 3 4 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; 1 10 ; 100 100 ; 7 1 .</li> <li>Faire vivre la notion de nombre quotient en complétant des multiplications à trou : 3 × … = 7 puis 3 × 7 3 =… </li> <li>Lire l’abscisse d’un point sur une droite graduée en tiers, en quarts, en moitiés, en dixièmes.</li> <li>Reconnaitre des fractions égales : 2 3 = … 15 ; 4 7 = … 14. </li> <li>Comparer deux fractions : 2 7 et 5 7 ; 8 12 et 8 21 ; 3 4 et 7 18 ; 8 3 et 6 7. </li> <li>Écrire une fraction sous la forme d’une somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1 : 17 5 = 3 + 2 5. </li> <li>Addition et soustraction de fractions simples : 3 5 + 4 5 ; 1 - 2 3 ; 4 7 - 2 21 ; 3 + 2 5 ; 2 5 + 1 4 .</li> <li>Prendre une fraction simple d’un nombre : le 1 3 de 18 ; le 1 4 de 12. </li> <li>Prendre 1 %, 10 % ou 50 % d’un nombre, en lien avec la proportionnalité.</li> <li>Écrire un même nombre sous de multiples formes, par exemple dire que 1,2 = 12 10 = 6 5 = 1 + 1 5 = 120 % = 120 100 etc. </li> </ul> </details> <details> <summary class=rubrique>Objectifs d'apprentissage</summary> <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td><ul> <li>Comparer des fractions.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève compare des fractions par la méthode la plus adaptée (fractions égales, comparaison à 1, comparaison à 0,5) L’élève compare des proportions. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève additionne et soustrait des fractions de dénominateurs quelconques. Il calcule 3 8 + 7 6 ; 5 12 - 2 9 en écrivant par exemple les multiples de chaque dénominateur pour choisir un dénominateur commun. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Résoudre des problèmes avec des additions et soustractions de fractions.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> En prenant par exemple appui sur un modèle en barre, l’élève utilise les fractions pour résoudre des problèmes du type « Sarah adore lire des romans et utilise ses trajets en bus pour le faire. Ce matin, en se rendant au collège, elle a lu 1 6 de son livre. À son retour, après les cours, elle a lu 5 8 du livre. Il lui reste encore 15 pages à lire. <ul> <li>Quelle fraction du livre lui reste-t-il à lire ?</li> <li>Combien de pages compte son roman ? ».</li> </ul> Un exemple de modèle pourrait être : <center><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/n3tpn5rpy2ztloapd4bx7udp8.png"></center> </BLOCKQUOTE> </details> </table> </BLOCKQUOTE> </details> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Puissances</summary> <BLOCKQUOTE> <details> <summary class=rubrique>Automatismes</summary> <ul> <li>Entretenir les tables de multiplications.</li> <li>Connaitre les unités d’aires et de volume.</li> </ul> </details> <details> <summary class=rubrique>Objectifs d'apprentissage</summary> <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td><ul> <li>Découvrir la notion de puissance d’un nombre et sa notation dans le cas du carré et du cube.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> La notation est introduite comme un raccourci d’écriture pour le calcul de l’aire du carré, du disque et le volume du cube. L’élève calcule a² et a³ pour un nombre décimal positif. Le lien est fait avec les unités d’aires et de volumes cm² et cm³. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Connaitre les carrés des entiers de 0 à 12.</li> <li>Connaitre le cube de 10.</li> <li>Savoir écrire un nombre sous la forme d’une puissance 2 ou 3.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève transforme si possible un nombre sous la forme a² et/ou a³. Par exemple : 64 = 8² = 4³. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Calculer la valeur numérique d’expressions contenant des puissances simples, additions, soustractions et produits.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève effectue des calculs du type 3 × 5² – 7 et fait la différence avec (3 × 5)² – 7. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Calculer la valeur d’une expression littérale contenant une puissance simple.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève calcule la valeur d’une expression littérale ou teste une égalité comportant un terme en 𝑥² ou 𝑥³. Par exemple : calculer la valeur A = 3𝑥² – 7 et (3𝑥)² – 7 pour 𝑥 = … </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> </table> </details> </details> <details> <summary class=rubrique>Calcul littéral et algébrique</summary> <BLOCKQUOTE> <details> <summary class=rubrique>Automatismes</summary> <ul> <li>Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive.</li> <li>Trouver le nombre d’éléments pour une étape donnée dans une suite de motifs évolutive.</li> <li> Identifier la structure d’un motif évolutif en repérant une régularité.</li> <li> Nombre quotient.</li> </ul> </details> <details> <summary class=rubrique>Objectifs d'apprentissage</summary> <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td><ul> <li>Produire des formules (double, triple, carré, successeur, prédécesseur, aire, périmètre, etc.).</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève produit des formules dans des contextes variés qui en montrent l’intérêt et la nécessité. Le passage à la lettre se fera progressivement. On favorisera d’abord le passage par la verbalisation pour aboutir à l’introduction de la lettre comme variable en faisant varier le nom (𝑥, 𝑦, 𝑡, 𝑛, …). Il exprime le double, le triple, la moitié, le carré, le successeur, le prédécesseur d’un nombre 𝑛. Il voit à cette occasion que 2 × 𝑛 s’écrit 2𝑛 et que a × b s’écrit ab et que 2𝑛 signifie 2 × 𝑛. L’élève contrôle les formules qu’il produit, soit en les testant pour les nombres dont il connait déjà la valeur de l’expression, soit par manipulation ou représentation. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Calculer la valeur d’une expression littérale par substitution.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève substitue une valeur numérique à une lettre pour calculer la valeur d’une expression littérale. Le lien est fait avec les formules mettant en jeu des grandeurs (périmètre, aire) et le statut d’assignation du signe « = ». </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Tester si une égalité entre expressions algébriques comportant une variable est vraie ou fausse.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> Un test d’égalité permet de faire la distinction entre les différents statuts du signe « = » puisque l’égalité est vue comme une assertion vraie ou fausse. Elle donne du sens à la notion d’équation qui sera abordée en quatrième. Le test d’égalité peut aussi être utilisé pour contrôler une étape de calcul littéral. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Déterminer si une expression littérale est une somme ou un produit.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> Selon la dernière opération à effectuer en suivant les règles de priorité, l’élève sait dire si une expression littérale est une somme ou un produit, afin de préparer la distributivité. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Exploiter les relations k(a + b) = ka + kb ou k(a – b) = ka – kb pour factoriser, ou développer une expression littérale.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève utilise la propriété de distributivité simple pour réduire une expression littérale de la forme a𝑥 + b𝑥, où a et b sont des nombres décimaux avec une attention pour le cas b = 1. Le lien est fait avec des procédures de calcul numériques déjà rencontrées au cycle 3 (calculs du type 12 × 50 ; 37 × 99 ; 3 × 23 + 7 × 23). Il peut s’appuyer sur la représentation avec des aires de rectangle. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Réduire une expression littérale de la forme a𝑥 + b, où a et b sont des nombres décimaux.</li> </ul> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Démontrer une propriété générale par le calcul littéral.</li> <li>Utiliser un contre-exemple pour démontrer qu’une assertion est fausse.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève mobilise le calcul littéral pour généraliser un résultat (conjecture numérique, etc.). La notion de contre-exemple est introduite. Par exemple, il montre que la somme de deux nombres pairs est paire (preuve utilisant le calcul littéral). La somme de deux carrés parfaits n’est pas (nécessairement) un carré parfait (contre-exemple). </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Formuler des conjectures en s’appuyant sur un langage algorithmique ou un tableur.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’utilisation du tableur et la programmation d’algorithmes sont une aide à la formulation de conjecture </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Donner à la lettre le statut d’inconnue.</li><li>Modéliser des problèmes relevant des opérations à trous par des équations du type a𝑥 = c ou 𝑥 + b = c.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève résout une équation du premier degré du type a𝑥 = c ou 𝑥 + b = c où a, b et c sont des décimaux ou fractions simples en lien avec le travail mené en sixième sur le sens quotient d’une fraction 𝑥 3 = 1 ; 𝑥 ÷ 3 = 1 ; 𝑥 ÷ 3 × 3 = 1 × 3 ; 𝑥 = 3. Les cas particuliers 2𝑥 = 0 et 𝑥 2 = 0 sont explicités. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Résoudre des équations du type a𝑥 = c ou 𝑥 + b = c par des méthodes arithmétiques s’appuyant sur les opérations inverses.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite et conseils de mise en œuvre</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève verbalise sa résolution. Il s’appuie autant que de besoin sur les schémas et représentations utilisés au cycle 3 (schémas en barres, balances, etc.) et le travail mené sur les programmes de calcul à une étape. L’élève vérifie la solution. Le lien est fait avec le test d’une égalité. Le statut d’inconnue de la lettre est introduit progressivement, en verbalisant le problème de recherche d’un nombre désigné par un mot, puis une lettre. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Prolongements possibles : mises en perspective historiques et culturelles</summary> <ul> <li>Lien avec Al Khwarizmi pour qui la résolution des problèmes fait appel à la « chose » qu’on cherche.</li><li>Spécificité de la résolution des équations du type 𝑥 + b = c (« Al-jabr ») et du type a𝑥 = c (« Al-hatt ») chez Al Khwarizmi.</li> </ul> </details> </BLOCKQUOTE> </details> </details> <details> <summary class=cm2_fonce><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/vf8P25s7c#lecture" target="_self">Quatrième</a></summary> </details> <details> <summary class=sixieme_fonce><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/UuF8kDz3Z#lecture" target="_self">Troisième</a></summary> </details> </BLOCKQUOTE> <style> .menuselect {background-color: rgb(255,254,145); color:rgb(232,111,14); font-weight:600;} .cm1_clair {background-color: rgb(234,238,246);} .cm2_clair {background-color: rgb(242,249,221);} .sixieme_clair {background-color: rgb(255,232,225);} .cm1_fonce {background-color: rgb(208,217,236); font-size:18px; font-weight:600;} .cm2_fonce {background-color: rgb(222,241,169); font-size:18px; font-weight:600;} .sixieme_fonce {background-color: rgb(255,202,185); font-size:18px; font-weight:600;} .titre {text-align:left; font-size:28px; font-weight:700;} .rubrique {font-weight:600;} .sous_rubrique {font-weight:600; font-size:16px} .objectifs_cm1 {background-color: rgb(208,217,236); font-size:16px; } .objectifs_cm2 {background-color: rgb(222,241,169); font-size:16px; } .objectifs_sixieme {background-color: rgb(255,202,185); font-size:16px; } .tg {border-collapse:collapse;border-spacing:0;} .tg td{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px; overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg th{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px; font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg .tg-baqh{text-align:center;vertical-align:top} .tg .tg-c3ow{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top} .tg .tg-c3ow-select{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color: rgb(255,254,145); color:rgb(232,111,14); font-weight:600; } .tg .tg-0pky{border-color:inherit;text-align:left;vertical-align:top} .tg .tg-0pky-select{border-color:inherit;text-align:left;vertical-align:top;background-color: rgb(255,254,145); color:rgb(232,111,14); font-weight:600;} .tg .tg-cm1{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color: rgb(234,238,246);} .tg .tg-cm2{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color:rgb(242,249,221)} .tg .tg-sixieme{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color: rgb(255,232,225);} .tg .tg-cm1-select{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color: rgb(208,217,236); font-weight:800;} .tg .tg-cm1-select a {color:rgb(232,111,14)} .tg .tg-cm2-select{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color:rgb(222,241,169); font-weight:800;} .tg .tg-cm2-select a {color:rgb(232,111,14)} .tg .tg-sixieme-select{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color: rgb(255,202,185); font-weight:800;} .tg .tg-sixieme-select a {color:rgb(232,111,14)} .exreussite {background-color:rgb(255,253,170);} </style>