Sommes infinies ?

--- type: slide slideOptions: transition: convex theme: white controlsBackArrows: fade mouseWheel: true transitionSpeed: slow background-transition: fade navigation-mode: grid  --- # Sommes infinies ? ### TRAAM Dijon <div class="r-stack"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_394bc487ab8e9a479850b8f55e897ef4.png" width="150" style="border: 0pt ;" position="left" ><span > &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp; &emsp;</span><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_9c4e61014804c2c909dbb61550ac4e1e.png" width="150" style="border: 0pt"> </div>   --- :::success Soient $A$, $B$, $S$ trois sommes distinctes, telles que : $A=1-1+1-1+1-...$ $B=1-2+3-4+5-...$ $S=1+2+3+4+5+...$ ::: Peut-on déterminer $A$, $B$ et $S$ ? --- ## Proposition pour déterminer $A$ :::success Par définition : $A=1-1+1-1+1-...$ Cherchons à calculer $A$ en réorganisant les termes de la somme. :::  ---- ### Proposition pour déterminer $A$ <div style="text-align : left; font-size: 80%;"> Par définition : $A=1-1+1-1+1-...$ <div class="fragment" data-fragment-index="1"> On remarque qu'en réorganisant les termes de la somme </div> <div class="fragment" data-fragment-index="2"> $A=1-1+1-1+1-...$ $=1-(1-1+1-1+1-...)=1-A$ </div> <div class="fragment" data-fragment-index="3"> Donc $A+A=1$ i.e. $2A=1$ <span class="fragment" >ainsi $A=$ ${\frac {1}{2}}$</span> </div> </div> ---- ### Proposition pour $A$ :::info ### $A =1-1+1-1+1-... = \frac{1}{2}$ ::: ## Qu'en pensez-vous ?  --- ## Proposition pour déterminer $B$ :::success Par définition : $B=1-2+3-4+5-6+7-...$ Cherchons à calculer $B$ en soustrayant les termes de la somme $A$. :::  ---- ### Proposition pour déterminer $B$ <div style="text-align : left; font-size: 80%;"> Par définition : $B=1-2+3-4+5-6+7- ...$ On remarque qu'en faisant la différence terme à terme, on a : ${\begin{aligned}B-A&=&1&-2&+3&-4&+5&-6&...&\\&&-1&+1&-1&+1&-1&+1&...&\\&=&0&-1&+2&-3&+4&-5&...&=-B\end{aligned}}$ <div class="fragment" data-fragment-index="1"> Donc $2B=A={\frac {1}{2}}$ </div> <div class="fragment" data-fragment-index="2"> ainsi $B={\frac {\frac {1}{2}}{2}}={\frac {1}{4}}$ </div> </div> ---- ### Proposition pour $B$ :::info ### $B =1-2+3-4+5-... = \frac {1}{4}$ ::: ## Qu'en pensez-vous ?  --- ## Proposition pour déterminer $S$ :::success Par définition : $S=1+2+3+4+5+...$ Cherchons à calculer $S$ en réorganisant les termes de la somme. :::  ---- ### Proposition pour déterminer $S$ <div style="text-align : left; font-size: 80%;"> Par définition : $S=1+2+3+4+5+...$ On remarque qu'en faisant la différence terme à terme : $\begin{aligned}S-B&=&1&+2&+3&+4&+5&+6&...&\\&&-1&+2&-3&+4&-5&+6&...&\\&=&0&+4&+0&+8&+0&+12&...& \\ \end{aligned}$ <div class="fragment" data-fragment-index="1"> $S-B = 4(1+2+3+...)=4S$ <div class="fragment" data-fragment-index="2"> Donc $S-4S=B$ i.e. $-3S=B$ d'où $S=-{\frac {B}{3}}=-{\frac {\frac {1}{4}}{3}}$ </div> <div class="fragment" data-fragment-index="3"> Ainsi, on trouve : $S=-{\frac {1}{12}}$ </div> </div> </div> ---- ### Proposition pour $S$ :::info ### $S =1+2+3+4+5-... = -\frac {1}{12}$ ::: ## Qu'en pensez-vous ?  --- ### Retour sur A ---- <div style="text-align : left; font-size: 80%;"> On peut aussi remarquer que : $\begin{array}{ccccccccc} A& =& \underbrace{1 - 1}& +& \underbrace{1 - 1}& +& \underbrace{1 - 1}& +& ....\\ & = &0&+&0&+&0&+&...\\ \end{array}$ Donc $A = 0$ </div> <div style="font-size: 80%;" class="fragment" data-fragment-index="1"> Ou encore que : $\begin{array}{cccccccccc} A& =& 1 & &\underbrace{-1 + 1}& & \underbrace{-1 + 1}& &\underbrace{-1 + 1}& ....\\ & = &1&+&0&+&0&+&0&...\\ \end{array}$ Donc $A = 1$ </div> ---- #### Ainsi : $A=1$ et $A=0$ et $A=\dfrac{1}{2}$ <div class="fragment" data-fragment-index="1"> ### Cela pose un problème ! </div> --- ### Bilan provisoire Qu'est-ce qu'une somme infinie ? Quelle règle les régissent ? Il semble que l'on a oublié de préalablement à tout calcul de se poser cette question. --- ### Une piste pour sortir du problème On note $a_n$ la somme des $n$ premiers termes de A. $a_1=1$, $a_2 = 1-1 = 0$, $a_3 = 1-1+1 = 1$, $a_4=1-1+1-1 = 0$ ... Donc $a_n = 1$ si $n$ est impair et $a_n=0$ sinon. Ainsi pour tout $n$, $a_n = \dfrac{1}{2}\left(1-(-1)^n\right)$ On peut définir A comme la limite de la suite $a_n$, <span class="fragment" data-fragment-index="1"> et cette limite n'existe pas </span>. ---- ### Utilisons la définition <br> <div style="text-align : left; font-size: 90%;"> On note $s_n$ la somme des $n$ premiers termes de S. <span class="fragment" data-fragment-index="1">alors $s_n = 1+2+3+... +n$</span> <span class="fragment" data-fragment-index="2">donc par propriété $s_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$</span> <span class="fragment" data-fragment-index="3">$\lim s_n = +\infty$</span> <span class="fragment" data-fragment-index="3">En prenant la même définition d'une somme infinie : S correspond à $+\infty$.</span> </div> ---- # Bilan <div style="text-align : left; font-size: 90%;"> Ainsi, on définira une <b>somme infinie</b> comme la limite de la suite dont chaque terme est la somme des $n$ premier termes de la somme infinie. Avec cette définition : * A n'existe pas * S est $+\infty$. </div> --- ## Une nouvelle somme infinie On note : $P = 1 -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}.....$. ---- ## Appliquons la définition <div style="text-align : left; font-size: 80%;"> On constate que $P = 1 -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}...$ $=1 - \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 ...$</span> <span class="fragment" data-fragment-index="1">donc $P = 1 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+ \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^4 ......$</span> <span class="fragment" data-fragment-index="2">On note $p_n$ la somme des $n$ premiers termes de $P$.</span> <span class="fragment" data-fragment-index="3">Ainsi, $p_n = 1 + \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + .... + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$.</span> </div>  ---- <div style="text-align : left; font-size: 90%;"> Ainsi, $p_n = 1 + \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + .... + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$. <span class="fragment" data-fragment-index="1">Par propriété, $p_n = \dfrac{1- \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}{1- \left(-\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{2}{3} \left(1- \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)$</span> </div> ---- <div style="text-align : left; font-size: 90%;"> Donc $P = \lim p_n = \lim \dfrac{2}{3} \left(1- \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right) = \dfrac{2}{3}$ On pourrait retrouver ce résultat à l'aide d'un programme. </div> --- ## Une dernière question sur la commutativité ### Avec la définition posée, quand la suite des sommes partielles converge peut-on changer l'ordre des termes comme dans une somme finie sans changer la valeur de la somme infinie ? ---- <div style="text-align : left; font-size: 90%;"> Soit $P = 1 -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}..... = \dfrac{2}{3}$. On peut être tenter comme $P$ est un nombre réel de faire ce que l'on avait fait initialement pour A, B et S : appliquer sur les sommes infinies les règles des sommes finies. En appliquant la propriété de commutativité, on calcule de même $P$ est commençant pas les termes négatifs : $-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{32}.....$ Est-ce que ce changement d'ordre change le résultat ? --- # FIN