# Devoir du 24/11 - Eléments de correction ## Exercice 1 2. $\vec{AL}=\vec{AC}+\vec{CL}$ (relation de Chasles) $\vec{AL}=\vec{AC}+\frac23\vec{CE}$ (égalité donnée dans l'énoncé) $\vec{AL}=\vec{AC}+\frac23(\vec{CA}+\vec{AE})$ (relation de Chasles) $\vec{AL}=\vec{AC}+\frac23\vec{CA}+\frac23\vec{AE}$ $\vec{AL}=\frac13\vec{AC}+\frac23\vec{AE}$ $\vec{AL}=\frac13(\vec{AB}+\vec{AD})+\frac23\vec{AE}$ $\vec{AL}=\frac13\vec{AB}+\frac13\vec{AD}+\frac23\vec{AE}$ --- 3. Les vecteurs sont non coplanaires. --- 4. a) $\vec{AL}=\begin{pmatrix}\frac13\\\frac13\\\frac23\end{pmatrix}$, $\vec{AF}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$, $\vec{AH}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ b) De façon très rapide, à l'aide de la réponse précédente, on obtient $a=\frac13$ et $b=\frac13$. c) Ces vecteurs sont coplanaires. --- 5. Les coordonnées de $L$ vérifient les équations de la représentation paramétrique de la droite $(AK)$. Ainsi $L \in (AK)$. Ces trois points sont donc alignés. --- 6. a) Considérons le point $H(0 ; 1 ; 1)$ et un vecteur directeur de la droite $(HJ)$:$\vec{HJ}=\begin{pmatrix}\frac12\\-1\\-1\end{pmatrix}$. Ainsi nous obtenons une représentation paramétrique pour la droite $(HJ)$ : $\left\{\begin{matrix}x=\frac12 t \phantom{; t \in \mathbb R}\\ y=1-t; t \in \mathbb R \\ z=1-t \phantom{; t \in \mathbb R}\end{matrix}\right.$. b) $\vec{AK}=\begin{pmatrix}\frac12\\\frac12\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{HJ}=\begin{pmatrix}\frac12\\-1\\-1\end{pmatrix}$ Les vecteurs directeurs de ces deux droites ne sont pas colinéaires. Donc les droites $(AK)$ et $(HJ)$ ne sont ni parallèles, ni confondues. Recherchons un éventuel point d'intersection à l'aide d'un système reliant les équations paramétriques : $\left\{\begin{matrix}\frac12 t = 0,5k\\ 1-t = 0,5 k \\ 1-t =k\end{matrix}\right. \iff \left\{\begin{matrix} t = k\\ 1-t = 0,5 t \\ 1-t =k\end{matrix}\right. \iff \left\{\begin{matrix} t = k\\ 1 = 1,5 t \\ 1-t =k\end{matrix}\right. \iff \left\{\begin{matrix}t = k\\ t = k = \frac23 \\ 1-\frac23 \neq \frac23\end{matrix}\right.$ Le système n'ayant pas de solution, les deux droites sont non coplanaires. --- ## Exercice 2 1. $u_1=2$ et $u_2=6$ 2. $u_{n+1}-u_n=2n+2$ $n\in \mathbb N$, donc $2n+2>0$. Ainsi $u_{n+1}-u_n>0$. La suite $(u_n)$ est donc croissante. 3. a) Initialisation : $u_0>0$ donc vraie pour $n=0$. Hérédité. On suppose au rang $k$ : $u_k>k$ $u_k+2k+2>k+2k+2$ $u_{k+1}>k+1$ La propriété est vraie au rang $n=0$ et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel $n\geqslant 0$. b) $\lim\limits_{n\to +\infty}n = + \infty$ Donc, par comparaison, $\lim\limits_{n\to + \infty}u_n=+\infty$ 4. a) Initialisation : $u_0=0=0^2+0$, donc vraie pour $n=0$. Hérédité. On suppose au rang $k$ : $u_k=k^2+k$ $u_k+2k+2 = k^2+k+2k+2$ $u_{k+1}=(k^2+2k+1)+(k+1)$ $u_{k+1}=(k+1)^2+k+1$ La propriété est vraie au rang $n=0$ et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel $n\geqslant 0$. b) $\lim\limits_{n\to +\infty}n =\lim\limits_{n\to +\infty}n^2= + \infty$ Donc par somme $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$ --- ## Exercice 3 **Partie A :** En calculant les premiers termes de la suite, on peut supposer que la suite $(v_n)$ est croissante et a pour limite 3. **Partie B** 1. $w_{n+1}=v_{n+1}-3$ $w_{n+1}=\dfrac{-1}{2}v^2_{n}+3 v_n - \dfrac32 - 3$ $w_{n+1}=\dfrac{-1}{2}(v^2_{n}-6v_n+9)$ $w_{n+1}=\dfrac{-1}{2}(v_{n}-3)^2$ $w_{n+1}=\dfrac{-1}{2}(w_{n})^2$ 2. a) $w_{n+1}-w_n=\dfrac{-1}{2}(w_{n})^2 - w_n$ En mettant $-w_n$ en facteur commun, on obtient le résultat demandé. b) On étudie le signe de $w_{n+1}-w_n=-w_n(\frac12w_n+1)$ Signe de $-w_n$ : on sait que $-1\leqslant w_n \leqslant 0$, donc $-w_n>0$ Signe de $\frac12w_n+1$ : on sait que $-1\leqslant w_n \leqslant 0$, donc $0<0,5\leqslant \frac12 w_n +1 \leqslant 1$ Donc par produit $w_{n+1}-w_n >0$. La suite $(w_n)$ est donc croissante. c) La suite $(w_n)$ est croissante et majorée par 0. Donc $(w_n)$ converge. 3. $v_n=w_n+3$ $(w_n)$ étant croissante, $(v_n)$ est croissante aussi. $\lim\limits_{n \to + \infty}v_n=\lim\limits_{n \to + \infty}w_n+3 = 0+3=3$