Nombres, calcul et résolution de problèmes - programme math cycle 3 - CM2

--- tags: Maths, cycle3 title: Nombres, calcul et résolution de problèmes - programme math cycle 3 - CM2 ---   <table class="tg" style="undefined;table-layout: fixed; width: 750px"><colgroup> <col style="width: 180px"> <col style="width: 600px"> <col style="width: 62px"> <col style="width: 62px"> <col style="width: 62px"> </colgroup> <thead> <tr> <th class="tg-baqh" colspan="2" style="background-color:rgb(159,111,63);">Mathématiques au cycle 3 Programme et ressources </th> <th class="tg-baqh" colspan="3" style="background-color:rgb(159,111,63);"><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9f2cfcf92000be7ea77ec0146.png"></th> </tr></thead> <tbody> <tr> <td class="tg-c3ow" rowspan="8"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9f2cfcf92000be7ea77ec0145.png"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_41baf353f9b90cd2820ccc09db7c67c9.png" width="100"> Cette page sur mobile <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9f2cfcf92000be7ea77ec0141.png"> </td> <td class="tg-0pky" colspan="4"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/R-N-hbQka#lecture" target="_self">Accueil</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/YVTnK7QzP#lecture" target="_self">Principes</a></td> <td class="tg-c3ow" colspan="3"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/YVTnK7QzP#lecture" target="_self">Cycle 3</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky-select">Nombres, calcul et résolution de problèmes</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/ePKtE5rOr#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2-select"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/XlVoQb3_z#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/npFkhTwJQ#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">Grandeurs et mesures</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/1Awc3Wv5X#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/3_6dww4-Z#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/oNyXz0Sre#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">Espace et géométrie</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/Gysew9g7w#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/4Sh16QJEh#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/5LObou2nf#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">Organisation et gestion de données et probabilités</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/y2jrr1x-J#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/mAqD_tN9y#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/2Ze13VoOF#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">La proportionnalité</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/vrCfRhWnB#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/bXJ7kAZjX#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/HMljH5nyN#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">Initiation à la pensée informatique</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/Wiwf_-lgH#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/GJHdVf0RR#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/E5eyaqR0t#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> </tbody></table>  Nombres, calcul et résolution de problèmes  <details> <summary class=rubrique>Introduction</summary> Au cycle 3, l'objectif est de poursuivre la compréhension de notre système de numération et de mobiliser ses propriétés lors de calculs. L’apprentissage des techniques opératoires et la compréhension des nombres se développent alors conjointement. En effet, l’enseignement des procédures utilisées pour effectuer des opérations ou des calculs dans toutes leurs modalités fournit des occasions aux élèves de faire évoluer leur compréhension du nombre. Il s’agit d’amener l’élève à adopter la procédure la plus efficace en fonction de ses connaissances ainsi que des nombres et des opérations mis en jeu dans les calculs. De même, si la maîtrise des techniques opératoires écrites permet à l’élève d’obtenir un résultat, la construction de ces techniques est l’occasion de retravailler les propriétés de la numération et de rencontrer des exemples d’algorithmes complexes. Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent d’enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d’en étudier de nouvelles. </details>  <details> <summary class=cm1_fonce><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/ePKtE5rOr#lecture" target="_self">Cours moyen première année</a></summary> </details> <details open> <summary class=cm2_fonce>Cours moyen deuxième année</summary> <BLOCKQUOTE class=cm2_clair> <details> <summary class=rubrique>Les nombres entiers</summary> Au CM2, la compréhension des aspects décimal (base dix) et positionnel (la valeur d’un chiffre dépend de sa position) de la numération se renforce et s’étend avec l’introduction de trois nouveaux rangs dans l’écriture chiffrée : ceux des millions, des dizaines de millions et des centaines de millions. Ainsi, les connaissances et les savoir-faire attendus en fin de CM2 concernent les nombres s’écrivant avec au plus neuf chiffres. Toutefois, afin de privilégier en début d’année le travail sur les fractions et les nombres décimaux, les nombres entiers rencontrés pendant les deux premières périodes de l’année seront ceux qui ont été étudiés au CM1 et qui s’écrivent avec au plus six chiffres. La connaissance des notions de diviseur et de multiple est renforcée en vue de leur utilisation lors de travaux sur les fractions (comparaison de fractions, additions et soustractions). Seuls les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 figurent au programme. Dans les autres cas, les élèves s’appuient sur la connaissance des tables de multiplication ou effectuent des divisions ou des multiplications. <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm2> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td> <ul><li>Connaître et utiliser les relations entre les unités de numération</li><li>Connaître la suite écrite et la suite orale des nombres jusqu’à 999 999 999</li><li>Connaître et utiliser diverses représentations d’un nombre et passer de l’une à l’autre</li><li>Connaître la valeur des chiffres en fonction de leur position dans un nombre</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE>L’élève comprend et utilise différentes désignations possibles pour un même nombre, notamment : <ul><li>Exemples pour la mise en oeuvre du programme de mathématiques en CM1 l’écriture en chiffres (3 425 000) ;</li><li>des décompositions en unités de numération (3 millions et 4 centaines de milliers et 2 dizaines de milliers et 5 milliers ou 3 millions et 425 milliers, mais aussi d’autres décompositions comme 32 centaines de milliers et 21 dizaines de milliers et 15 milliers) ;</li><li>le nom à l’oral (« trois-millions-quatre-cent-vingt-cinq-mille ») ;</li><li>la décomposition du type : (3 × 1 000 000) + (4 × 100 000) + (2 × 10 000) + (5 × 1 000) ;</li><li>la décomposition additive sous la forme 3 000 000 + 400 000 + 20 000 + 5 000 ;</li><li> l’écriture en lettres (trois-millions-quatre-cent-vingt-cinq-mille).</li></ul> L’élève sait écrire en chiffres un nombre dicté. Il sait également lire un nombre écrit en chiffres et l’écrire en lettres.<ul><li>Quand il écrit un nombre avec plus de quatre chiffres, l’élève laisse un espace entre chaque groupe de trois chiffres en partant de la droite.</li></ul> L’élève sait résoudre un problème comme le suivant : <ul><li>« Une entreprise a produit 12 342 320 pailles en une semaine. Les pailles sont conditionnées et vendues dans des cartons de cent boites contenant chacune cent pailles. Combien l’entreprise va-t-elle pouvoir livrer de cartons à l’issue de cette semaine de production ? »</li></ul> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Comparer, encadrer, intercaler des nombres entiers en utilisant les symboles =, < et ></li> <li>Ordonner des nombres dans l’ordre croissant ou décroissant</li> <li>Placer des nombres et repérer des points sur une demi-droite graduée</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait ordonner cinq nombres entiers dans l’ordre croissant ou décroissant. L’élève sait placer un nombre ou déterminer le nombre correspondant à un point sur une portion de demi-droite pouvant être graduée de un en un, de dix en dix, de cent en cent, etc. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Déterminer si un nombre entier inférieur ou égal à 10 est un diviseur d’un nombre entier donné ou si un nombre entier donné est un multiple d’un nombre entier inférieur ou égal à 10 </li> <li>Déterminer des diviseurs d’un nombre entier inférieur ou égal à 100</li> <li>Déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier inférieur ou égal à 30</li> <li>Déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers inférieurs ou égaux à 30</li> <li>Déterminer des multiples communs à deux nombres entiers inférieurs à 15</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait, par exemple, trouver au moins six diviseurs de 72. L’élève sait utiliser ses connaissances sur les multiples et les diviseurs pour résoudre des problèmes comme les suivants :<ul> <li>Les côtés d’un rectangle ont pour longueurs des nombres entiers de centimètres. Son aire est de 100 cm². Trouve plusieurs dimensions possibles pour ce rectangle.</li> <li>Adidja a 10 baguettes de bois mesurant chacune 8 cm. Béatrice a 10 baguettes de bois mesurant chacune 12 cm. Adidja et Béatrice ont construit chacune un chemin en mettant bout à bout certaines de leurs baguettes. Elles ont obtenu deux chemins de la même longueur. Trouve une longueur possible pour les chemins construits par Adidja et Béatrice. Trouve toutes les longueurs possibles.</li> <li>Lou et Léo ont devant eux une boite contenant 100 jetons. Ils prennent chacun le même nombre de jetons dans cette boite. Lou décide d’organiser ses jetons en paquets de 6 et Léo fait de même avec des paquets de 8. Pour les deux enfants, cela tombe juste et il ne leur reste aucun jeton. Combien chacun des enfants a-t-il pris de jetons dans la boite ? Trouve toutes les solutions possibles.</li> </ul> L’élève sait organiser sa recherche de façon à pouvoir affirmer qu’il n’y a pas d’autres diviseurs que ceux qu’il a trouvés pour un nombre inférieur ou égal à 30. L’élève peut ainsi trouver et affirmer que les seuls diviseurs de 28 sont 1, 2, 4, 7, 14 et 28. L’élève sait résoudre un problème comme le suivant : « Les côtés d’un rectangle ont pour longueurs des nombres entiers de centimètres. Son aire est de 24 cm². Trouve toutes les dimensions possibles pour ce rectangle. » </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Les fractions</summary> Au CM2 les élèves renforcent les connaissances et les savoir-faire acquis les années précédentes. Les fractions sont utilisées avec différents sens : <ul> <li>comme au CE1, les fractions sont utilisées pour représenter une partie d’un tout dans le cadre d’un partage de ce tout en parts égales, la fraction étant alors le rapport entre la partie et le tout ;</li> <li>dans la continuité du CE2, les fractions sont utilisées pour mesurer des grandeurs lorsque les nombres entiers ne sont pas suffisants ;</li> <li>comme au CM1, le repérage de points sur une demi-droite graduée par des fractions contribue à donner aux fractions le statut de nombres qui s’intercalent entre les nombres entiers déjà connus ;</li> <li>les fractions ont également le statut d’opérateur multiplicatif : au CM2, les élèves apprennent à calculer des fractions de quantités ou de grandeurs comme deux tiers de 12 € ou trois quarts de 100 mètres.</li> </ul> Dans la continuité du CM1, les élèves travaillent avec des fractions dès la période 1 et les utilisent tout au long de l’année scolaire. Les fractions rencontrées au CM2 ont toutes un dénominateur inférieur ou égal à 60, hormis les fractions décimales qui peuvent avoir un dénominateur égal à 100 ou à 1 000. <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm2> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Interpréter, représenter, écrire et lire des fractions</li> <li>Écrire une fraction supérieure à 1 comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1</li> <li>Écrire la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 comme une unique fraction</li> <li>Encadrer une fraction entre deux nombres entiers consécutifs</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend que 7 4 = 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 = 7 × 1 4 . La verbalisation contribue à donner du sens au produit. Des représentations par des grandeurs (longueur ou aire), en utilisant du matériel tangible ou une représentation sur papier, peuvent également contribuer à renforcer la compréhension du produit. L’élève sait représenter une fraction inférieure à 1, comme 58 , par une figure géométrique où la partie correspondant à la fraction du tout est identifiée. Une unité de longueur étant donnée, l’élève sait construire une bande de papier de longueur 5 u + 3 4 u. L’élève sait écrire une fraction comme 58 7 comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 en s’appuyant sur sa connaissance de la relation 7 7 = 1 et de la table de la multiplication par 7 : 58 7 = 56 7 + 2 7 = 8 + 2 7 . L’élève sait encadrer la fraction 43 8 entre deux entiers consécutifs en s’appuyant sur sa connaissance de la relation 8 8 = 1 et de la table de la multiplication par 8 : 43 8 = 5 × 8 8 + 3 8 = 5 + 3 8 donc 5 < 43 8 < 6. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Placer une fraction ou la somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à un sur une demi-droite graduée</li> <li>Repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction ou par la somme d’un nombre entier et d’une fraction</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait placer une fraction sur une demi-droite graduée lorsque les graduations de la demi-droite permettent de placer ce nombre avec précision. <ul> <li>Placer le point A d’abscisse 5 3 sur la demi-droite graduée ci-dessous. <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8e8.png"></li> <li>Écrire la fraction 7 3 à l’endroit qui convient sur la demi-droite graduée ci-dessous. <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8e9.png"></li> </ul> L’élève sait déterminer l’abscisse d’un point placé sur une demi-droite graduée. <ul> <li>Parmi les nombres inscrits dans le tableau ci-dessous, entourer celui ou ceux qui sont égaux à l’abscisse du point B. <table> <td>5</td> <td> 20 3</td> <td>3+ 2 10</td> <td> 10 3</td> <td>3+ 2 6</td> <td>4- 2 3</td> <td>3,2</td> </table> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8ea.png"></li> </ul> </BLOCKQUOTE> </td></tr><tr><td><ul><li>Comparer des fractions</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait expliquer pourquoi 8 3 est égal 16 6 , en s’appuyant sur des représentations des deux fractions par des grandeurs (longueur ou aire), en utilisant du matériel tangible ou une représentation sur papier. L’élève sait répondre à la question suivante : « Parmi les fractions 6 5 , 11 12 , 15 18 , 50 60 et 2 3 , quelles sont les fractions égales à 5 6 ? ». L’élève sait déterminer le dénominateur manquant dans une égalité comme 21 ? = 7 3 et il sait justifier sa réponse. L’élève sait comparer deux fractions ayant le même numérateur et justifier sa réponse : « Comparer 17 12 et 17 8 ». L’élève sait comparer deux fractions de même dénominateur ou de dénominateurs différents (uniquement pour des cas simples et avec des dénominateurs ayant un multiple commun inférieur ou égal à 60) : « Comparer 7 4 et 17 10 » ou « Comparer 13 2 et 20 3 ». Il justifie sa réponse en utilisant des égalités de fractions avec des fractions ayant le même dénominateur, multiple commun des deux dénominateurs, par exemple : « 7 4 = 35 20 et 17 10 = 34 20 , on a 35 20 > 34 20 donc 7 7 > 17 10 . » </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Additionner et soustraire des fractions</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait additionner et soustraire des fractions ayant le même dénominateur. L’élève sait additionner et soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, avec l’un des dénominateurs multiple de l’autre (résultats des tables de multiplication), par exemple : 3 2 + 7 8 ; 5 6 - 1 12 ; 11 40 - 1 8 . Les changements de dénominateurs sont systématiquement accompagnés de verbalisation justifiant les égalités de fractions et si nécessaire, de manipulations ou de représentations correspondant aux fractions en jeu. L’élève sait résoudre des problèmes additifs dans lesquels les données numériques sont des fractions simples. Par exemple : « Johanna a tracé un triangle de périmètre 7 + 1 4 unités. L’un des côtés a pour longueur (2 + 1 8 ) unités et un autre a pour longueur (1 + 1 2 ) unités. Quelle est la longueur du troisième côté ? » </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Calculer le produit d’un entier et d’une fraction</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend que le produit d’un entier et d’une fraction correspond à une addition itérée de la fraction. La verbalisation permet de donner du sens au produit : « Trois fois cinq quarts, c’est cinq quarts plus cinq quarts plus cinq quarts, cela fait quinze quarts. » : 3 × 5 4 = 5 4 + 5 4 + 5 4 = 15 4 . </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Déterminer une fraction d’une quantité ou d’une grandeur</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait déterminer la fraction d’une quantité ou d’une grandeur. Par exemple 2 3 de douze oeufs. L’élève sait justifier sa réponse oralement, en produisant une phrase comme : « Pour trouver un tiers de douze oeufs, je partage en trois parts égales, comme douze c’est trois fois quatre, cela fait quatre oeufs. Deux tiers de douze oeufs, c’est donc deux fois quatre oeufs, cela fait huit oeufs. », <ul> <li> 3 10 de 500 g de farine ;</li> <li> 2 5 de 60 kg de sable.</li> </ul> Si cela lui est utile, l’élève sait prendre appui sur un schéma pour guider ses calculs. <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8ec.png"> Chaque rectangle gris représente 1 5 de 60 kg. « 60 = 5 × 12, donc chaque rectangle représente 12 kg de sable. 2 5 de 60 kg de sable c’est donc 2 fois 12 kg de sable, c’est-dire 24 kg de sable. » </BLOCKQUOTE> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Les nombres décimaux</summary> Au CM1, l’écriture à virgule a été présentée comme un codage conventionnel de la décomposition d’un nombre sous forme d’une somme de fractions décimales : l’écriture décimale 35,78 a été introduite comme un codage destiné à simplifier l’écriture du nombre 35+ 7 10 + 8 100 . L’étude des nombres décimaux y est limitée aux dixièmes et aux centièmes. Au CM2, des nombres décimaux sont rencontrés dès la période 1 dans la continuité du travail mené au CM1 aussi bien par des écritures fractionnaires que des écritures à virgule. L’étude des nombres décimaux s’étend aux millièmes. Cette section du programme entretient des liens forts avec : <ul> <li>la partie « Grandeurs et mesures » où les nombres décimaux sont largement utilisés ;</li> <li>les sous-parties « Calcul mental » et « Les quatre opérations » où sont présentées des compétences calculatoires que doivent développer les élèves sur les nombres décimaux ;</li> <li>la sous-partie « Résolution de problèmes » où les nombres décimaux prennent tout leur sens.</li> </ul> <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm2> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Interpréter, représenter, écrire et lire des fractions décimales</li> <li>Connaître et utiliser les relations entre unités simples, dixièmes, centièmes et millièmes</li> <li>Placer une fraction décimale sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction décimale</li> <li>Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction décimale inférieure à 1</li> <li>Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et de fractions décimales ayant un numérateur inférieur à 10.</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que 1 = 10 10 = 100 100 = 1 000 1 000 ; 1 10 = 10 100 = 100 1 000 ; 1 100 = 10 1 000 . L’élève sait passer d’une écriture à une autre pour les trois écritures suivantes du même nombre : 4 107 1 000 ; 4 + 107 1 000 ; 4 + 1 10 + 7 1 000 . L’élève sait représenter une fraction comme 143100 en utilisant du matériel tangible ou des représentations introduites au CM1. L’élève sait placer une fraction décimale sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction décimale. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Comparer, encadrer, intercaler des fractions décimales en utilisant les symboles =, < et >.</li> <li>Ordonner des fractions décimales dans l’ordre croissant ou décroissant</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait encadrer une fraction décimale comme 7103 1 000 par deux nombres entiers consécutifs. L’élève sait comparer deux fractions décimales, par exemple 67 100 et 607 1 000 . L’élève sait ranger par ordre croissant les quatre nombres suivants : 2 ; 140 100 ; 1 200 1 000 ; 9 10 . L’élève sait intercaler une fraction décimale entre deux fractions décimales données. Par exemple, il sait compléter une expression comme 43 100 < … < 44 100 </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Passer d’une écriture sous forme d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales à une écriture à virgule et réciproquement</li> <li>Interpréter, représenter, écrire et lire des nombres décimaux (écriture à virgule)</li> <li>Placer un nombre décimal en écriture à virgule sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par un nombre en écriture à virgule</li> <li>Savoir donner la partie entière et l’arrondi à l’entier d’un nombre décimal</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que, dans l’écriture à virgule d’un nombre, la virgule sert à repérer le chiffre des unités. Il sait que le chiffre qui suit la virgule est le chiffre des dixièmes, que le suivant est le chiffre des centièmes et que le troisième chiffre après la virgule est le chiffre des millièmes. L’élève sait passer d’une écriture à une autre pour les quatre écritures suivantes du même nombre : 4,107 ; 4 107 1 000 ; 4 + 107 1 000 ; 4 + 1 10 + 7 1 000 . Il sait que 4,107 peut se lire « quatre et cent-sept millièmes », ou « quatre unités et cent-sept millièmes » ou encore « quatre unités, un dixième et sept millièmes ». À l’écrit et à l’oral, l’élève sait produire des suites de nombres de 0,1 en 0,1, de 0,01 en 0,01 et de 0,001 en 0,001 à partir d’un nombre donné. L’élève sait placer 2,812 sur une demi-droite graduée en millième. L’élève sait qu’il faut écrire 33,916 dans le rectangle sur les zooms de la demi-droite graduée ci-dessous. <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8ed.png"> L’élève sait donner la partie entière de 105,78. L’élève sait que l’arrondi à l’entier de 5,78 est 6 et que l’arrondi à l’entier de 3,5 est 4. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Comparer, encadrer, intercaler, ordonner par ordre croissant ou décroissant des nombres décimaux donnés par leur écriture à virgule en utilisant les symboles =, < et > </li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait repérer par un nombre décimal un point d’une demi-droite graduée en dixième, en centième ou en millième. L’élève sait comparer deux nombres décimaux, par exemple 4,592 et 4,71. L’élève sait encadrer 17,995 par deux nombres entiers consécutifs : 17 < 17,995 < 18. L’élève sait encadrer 17,995 au dixième : 17,9 < 17,995 < 18. L’élève sait encadrer 17,995 au centième : 17,99 < 17,995 < 18. L’élève sait compléter l’inégalité suivante par un nombre qui convient : 1,99 < … < 2. L’élève sait ranger par ordre croissant ou décroissant jusqu’à cinq nombres décimaux, par exemple : 12,082 ; 12 324 1 000 ; 14 ; 12,09 ; 12,6. </BLOCKQUOTE> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Le calcul mental</summary> L’enseignement du calcul mental au cours moyen est constitué de trois types d’apprentissages : <ul> <li>mémoriser des faits numériques qui peuvent être restitués de façon quasi instantanée ;</li> <li>utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs, en s’appuyant notamment sur la position des chiffres dans les nombres ;</li> <li>maîtriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront progressivement automatisées.</li> </ul> Au cours moyen, la mémorisation des résultats des tables d’addition et de multiplication se poursuit avec une fluence qui se renforce tout au long de l’année scolaire. Les procédures de calcul mental enseignées au cycle 2 et au CM1 sont utilisées tout au long de l’année, afin de renforcer leur automatisation. Les procédures doivent être explicitées et donner lieu à une trace écrite. L’entraînement à une restitution rapide des résultats, dans climat serein et motivant aide les élèves à renforcer la mémorisation et l’automatisation des procédures. Il est par ailleurs préférable que cet entraînement soit détaché de toute pression évaluative. <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm2> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td style="background-color:rgb(240,240,240);"> Mémoriser des faits numériques </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Connaître des faits numériques usuels avec des entiers</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève renforce sa maitrise des faits numériques avec des entiers appris au cycle 2. L’élève connait les tables d’addition et de multiplication. Il sait compléter des « égalités à trou » du type : 4 + … = 12 ; 5 + 3 = … ; 10 = 7 + … ; 7 × … = 42 ; 9 × 6 = … ; 70 = 7 × … L’élève sait donner oralement et par écrit : <ul><li>les doubles des nombres de 1 à 20 ;</li><li>les doubles des nombres 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60 et 75 ;</li><li>les doubles des nombres 100, 150, 200, 250, 300, 400, 500 et 600 ;</li><li>les moitiés des nombres pairs de 2 à 40 ;</li><li>les moitiés des dizaines entières 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 et 150 ;</li><li>les moitiés des centaines entières 200, 300, 400, 500, 600, 800, 1 000 et 1 200.</li></ul> L’élève connait les multiples de 25 suivants : 1 × 25 = 25, 2 × 25 = 50, 3 × 25 = 75 et 4 × 25 = 100. L’élève connait les décompositions multiplicatives de 60 : 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 et 6 × 10. L’élève peut ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 2 × … = 12 ; 2 × 16 = … ; 2 × … = 70 ; 2 × 25 = … ; 1000 = 2 × … ; 2 × 150 = … ; 3 × 25 = … ; 60 = 4 × … . </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Connaître la moitié des nombres impairs jusqu’à 15</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que la moitié de 1 est 0,5. L’élève sait, par exemple, que la moitié de 9 est 4,5 et sait ainsi compléter l’égalité 2 × … = 9. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Connaître quelques relations entre des fractions usuelles</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève connait des relations entre 1 4 , 1 2 , 3 4 et 1. Il peut ainsi compléter sans effectuer de calculs des « égalités à trou » du type : 1 2 + 1 2 = … ; 1 4 + 1 4 = … ; 1 – 1 4 = … ; 1 2 + 1 4 = … ; 1 – 1 2 = … ; 3 4 + 1 4 = … ; 1 2 – 1 4 = … ; 3 4 – 1 4 = … ; 1 2 = … 4 ; … 4 = 1. L’élève connait les relations entre 1 1 000 , 1 100 , 1 10 et 1. Il peut ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 1 100 = … 1 000 ; 1 = … 10 ; 1 = … 1 000 . L’élève sait écrire 1 4 , 1 2 et 3 4 sous forme de fractions décimales. Il peut ainsi compléter sans effectuer de calculs des « égalités à trou » du type : 1 2 = … 10 ; … 100 = 1 2 ; 1 2 = … 1 000 ; 1 4 = … 100 ; … 100 = 3 4 ; 1 4 = … 1 000 . </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul><li>Connaître l’écriture décimale de fractions usuelles</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait passer d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale et d’une écriture décimale à une écriture fractionnaire pour les nombres suivants : 1 10 = 0,1 ; 1 100 = 0,01 ; 1 1 000 = 0,001 ; 1 4 = 0,25 ; 1 2 = 0,5 ; 3 4 = 0,75 ; 3 2 = 1,5 ; 4 2 000 = 2 ; 5 2 = 2,5. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td style="background-color:rgb(240,240,240);"> Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement</td></tr> <tr><td> <ul><li>Ajouter ou soustraire un nombre entier à un nombre décimal lorsqu’il n’y a pas de retenue</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> À partir d’opérations données à l’écrit, l’élève sait identifier le chiffre sur lequel agir lorsqu’il doit effectuer une addition ou une soustraction, quelle que soit la façon dont les nombres sont désignés. Il sait, par exemple, trouver le résultat des opérations suivantes : <ul><li>4,452 + 0,03 ;</li><li>0,457 – 31 000 ;</li><li>21 462 + 3 000.</li></ul> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Ajouter un nombre entier à un nombre décimal lorsqu’il y a une retenue</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> À partir d’opérations données à l’écrit, l’élève sait identifier le chiffre sur lequel agir lorsqu’il doit effectuer une addition, quelle que soit la façon dont les nombres sont désignés. Il sait, par exemple, trouver le résultat des opérations suivantes : <ul><li>4,45 + 0,8 ;</li><li>0,457 + 71 000 ;</li><li>47 530 + 6 000.</li></ul> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr><tr><td> <ul> <li>Multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que, lors de la multiplication d’un nombre décimal par 10, un dixième devient une unité, un centième devient un dixième et un millième devient un centième. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 10 fois plus grande : le chiffre des millièmes devient le chiffre des centièmes, le chiffre des centièmes devient le chiffre des dixièmes et le chiffre des dixièmes devient le chiffre des unités. Un outil de type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les multiplications par 10, 100 ou 1 000 d’un nombre décimal en complément de la verbalisation de la procédure en termes d’unités de numération. Exemple : multiplication de 72,4 par 100 : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8f0.png"><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8f1.png">100 × 72,4 = 7 240 </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr><tr><td> <ul> <li>Diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que, lors d’une division par 1 000, une unité devient un millième, une dizaine devient un centième, une centaine devient un dixième et un millier devient une unité. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 1 000 fois plus petite. Un outil du type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les divisions par 10, 100 ou 1 000 en complément de la verbalisation de la procédure en termes d’unités de numération. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td style="background-color:rgb(240,240,240);"> Apprendre des procédures de calcul mental </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Ajouter deux nombres décimaux inférieurs à 10, s’écrivant avec au plus un chiffre après la virgule</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait calculer mentalement des sommes comme les suivantes : 2,3 + 4 ; 4,5 + 1,2 ; 3,5 + 2,5 ; 1,8 + 0,2 ; 2,7 + 3,7 ; 8,6 + 7,8. Par exemple, pour calculer 8,6 + 7,8, l’élève sait qu’il peut procéder de la façon suivante : 8,6 + 7,8 = (8 + 7) + (0,6 + 0,8) = 15 + 1,4 = 16,4. Il sait verbaliser la somme 0,6 + 0,8 sous la forme « Six dixièmes plus huit dixièmes font quatorze dixièmes, c’est-à-dire une unité et quatre dixièmes. ». </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Ajouter ou soustraire 8, 9, 18, 19, 28, 29, …, 98 ou 99 à un nombre</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait, par exemple, que pour ajouter 98 à un nombre, il peut lui ajouter 100 puis retrancher 2. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr><tr><td> <ul> <li>Multiplier un nombre entier, inférieur à 10, de dizaines, de centaines ou de milliers par un nombre entier, inférieur à 10, de dizaines, de centaines ou de milliers</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que pour effectuer une multiplication comme 900 × 700, il peut décomposer chacun des facteurs sous la forme d’un produit, puis changer l’ordre des facteurs pour faire apparaitre un produit mémorisé dans les tables de multiplication. 900 × 700 = (9 × 100) × (7 × 100) = (9 × 7) × (100 × 100) = 63 × 10 000 = 630 000. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr><tr><td> <ul> <li>Utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition dans des cas simples</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8f2.png" style="float:right;"> L’élève sait verbaliser « 12 fois 42, c’est 10 fois 42 plus 2 fois 42. ». 12 × 42 = (10 + 2) × 42 = (10 × 42) + (2 × 42) = 420 + 84 = 504 L’élève utilise aussi la décomposition dans l’autre sens : « 42 fois 12, c’est 42 fois 10 plus 42 fois 2. ». </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr><tr><td> <ul> <li>Calculer le double d’un nombre décimal dans des cas simples</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que le double de 13,6 est le double de 136 dixièmes c’est donc 272 dixièmes, donc 27,2. L’élève sait aussi s’appuyer sur les fractions décimales et la multiplication par 2 sur les entiers : 2 × 13,6 = 2 × 136 10 = 272 10 = 27,2 ; 2 × 4,35 = 2 × 435 100 = 870 100 = 8,7. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr><tr><td> <ul> <li>Calculer la moitié d’un nombre décimal dans des cas simples</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE>L’élève sait que la moitié d’un nombre décimal est égale à la somme de la moitié de sa partie entière et de la moitié de sa partie décimale : 13,6 ÷ 2 = (13 ÷ 2) + (0,6 ÷ 2) = 6,5 + 0,3 = 6,8 ; 1,22 ÷ 2 = (1 ÷ 2) + (0,22 ÷ 2) = 0,5 + 0,11 = 0,61. L’élève sait aussi s’appuyer sur les fractions décimales et la division par 2 sur les entiers : 13,6 ÷ 2 = 136 10 ÷ 2 = 68 10 = 6,8 ; 1,22 ÷ 2 = 122 100 ÷ 2 = 61 100 = 0,61. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr><tr><td> <ul> <li>Diviser un nombre entier par 4 ou par 8</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que diviser par 4 revient à diviser par 2 et encore par 2. 140 ÷ 4 ? 140 ÷ 2 = 70 et 70 ÷ 2 = 35. Donc 140 ÷ 4 = 35. L’élève sait que diviser par 8 = 2 × 2 × 2 revient à diviser par 2, puis encore par 2 et une troisième fois par 2. 260 ÷ 8 ? 260 ÷ 2 = 130 ; 130 ÷ 2 = 65 et 65 ÷ 2 = 32,5. Donc 260 ÷ 8 = 32,5. Lors d’une séance de calcul mental, si l’élève doit calculer 260 ÷ 8, il peut écrire : « 130 », puis « 65 », puis « 32,5 », qu’il entoure pour indiquer qu’il s’agit du résultat cherché. Les écrits intermédiaires « 130 » et « 65 » lui permettent de soulager sa mémoire de travail. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr><tr><td> <ul> <li>Multiplier un nombre décimal par 5</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que multiplier par 5 revient à multiplier par 10 puis à calculer la moitié du résultat obtenu. Il utilise cette procédure pour multiplier par 5 un nombre décimal s’écrivant avec au plus trois chiffres. Par exemple, pour calculer 5 × 1,46 : 10 × 1,46 = 14,6 et 14,6 ÷ 2 = 7,3. Donc 5 × 1,46 = 7,3. </BLOCKQUOTE></details></td></tr><tr><td><ul><li>Multiplier un nombre décimal par 50</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary><BLOCKQUOTE>L’élève sait que multiplier par 50 revient à multiplier par 100 puis à diviser par 2. Il utilise cette procédure pour multiplier par 50 un nombre inférieur à 20 s’écrivant avec au plus trois chiffres et pour lequel le dernier chiffre est pair. 50 × 12,4 ? 100 × 12,4 = 1 240 et 1 240 ÷ 2 = 620. Donc 50 × 12,4 = 620. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> </table> </details> <details> <summary class=rubrique>Les quatre opérations</summary> Les quatre opérations sont mobilisées au CM2 lors de la résolution de problèmes, qui permet de donner du sens aux opérations. Cette partie entretient également, de façon naturelle, un lien fort avec les autres parties du programme relatives aux nombres, aux grandeurs et au calcul mental. Des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions euclidiennes posées sont régulièrement utilisées dès le début de l’année, quand les nombres en jeu le justifient. Cependant, les élèves sont encouragés à privilégier le calcul mental à chaque fois que celui-ci est envisageable. Au cours moyen, les élèves ne disposent pas de calculatrice personnelle. Des calculatrices peuvent cependant être distribuées par l’enseignant pour certaines activités et à certains élèves, lorsque le professeur estime que cette mise à disposition peut être utile. <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm2> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td> <ul><li>Estimer le résultat d’une opération</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary><BLOCKQUOTE>L’élève sait estimer le résultat d’une opération dans des cas simples. Par exemple, il sait dire que :<ul><li>1 212 L – 496 L est proche de 700 L, car 1 200 L – 500 L = 700 L ;</li><li>724 × 68 est proche de 50 000, car 700 × 70 = 7 × 100 × 7 × 10 = (7 × 7) × (100 × 10) = 49 × 1000 ;</li><li>59 437 kg ÷ 6 est proche de 10 000 kg, car 6 × 10 000 kg = 60 000 kg.</li></ul> L’élève connait et utilise le symbole ≈. Il écrit 764 × 68 ≈ 50 000. L’élève sait dire, parmi les nombres suivants, lequel est la meilleure estimation du résultat de 32 × 3 182,5 : □ 1 000 □ 10 000 □ 100 000 □ 1 000 000 </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Savoir réaliser un calcul contenant une ou deux paires de parenthèses</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend que les parenthèses renseignent sur les calculs à effectuer en premier. L’élève sait effectuer un calcul en respectant l’ordre des opérations indiqué par les parenthèses, comme, par exemple :<ul> <li>(15 – 7) × (6 + 3)</li> <li>37 – (3 × (14 – 6))</li> </ul> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Poser et effectuer la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait déterminer, en posant l’opération, des produits comme 876 × 20,8 ou 8,76 × 208. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Poser et effectuer des divisions décimales avec un dividende entier et un diviseur à un chiffre</li> <li>Poser et effectuer des divisions décimales avec un dividende décimal et un diviseur à un chiffre</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait effectuer, en la posant, la division décimale d’un nombre entier dont l’écriture contient jusqu’à cinq chiffres par un nombre entier à un chiffre, par exemple, 785 ÷ 4. L’élève sait effectuer des divisions décimales d’un nombre décimal dont l’écriture contient jusqu’à cinq chiffres par un entier à un chiffre, par exemple, 148,2 ÷ 5. Les divisions décimales proposées au CM2 s’arrêtent au plus tard au centième avec un reste nul comme, par exemple 9 855 ÷ 6 ; 7 854 ÷ 8 ; 986,3 ÷ 5. L’élève comprend et utilise les mots usuels rencontrés dans le cadre des opérations. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>La résolution de problèmes</summary> La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite qui vise à développer l’aptitude des élèves à résoudre des problèmes de manière autonome. Cet enseignement s’appuie sur le modèle de la résolution de problèmes en quatre phases, synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier la ou les éventuelles étapes de la résolution sur lesquelles un élève est en difficulté : <BLOCKQUOTE style="background-color:rgb(255,255,255);"> <center><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9f2cfcf92000be7ea77ec0157.png" width=75%></center> </BLOCKQUOTE> La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème, l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même, en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas la reconnaissance d’une opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes dont l’énoncé contient des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction. La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver le résultat cherché. Au cours moyen, seuls les élèves qui en ont besoin continuent de manipuler du matériel tangible. Tous les élèves continuent à utiliser, quand cela les aide, des représentations schématiques afin d’identifier le modèle mathématique en jeu. Au CM1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves au moment où est proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées. La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », ou des questions relatives à la vraisemblance du résultat trouvé : « 4,5 m pour la longueur d’une voiture, est-ce que cela est plausible ? », « 800 km entre Paris et New-York, est-ce que cela semble possible ? ». L’élève doit apprendre à se poser systématiquement ce type de questions. Les données des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maîtrisé au CM2, à savoir les nombres entiers jusqu’à 999 999 999, les nombres décimaux et les fractions. Le champ numérique dépend cependant fortement de la structure mathématique du problème : plus celle-ci est complexe, plus le champ numérique doit être réduit afin d’éviter une surcharge cognitive et permettre aux élèves de se concentrer sur la structure du problème. Les élèves doivent traiter au moins 10 problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur l’ardoise. Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes dont les structures sont répertoriées dans le programme. Cependant, des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être proposés tout au long de l’année.<BLOCKQUOTE class=objectifs_cm2> <table><tr><td>Objectifs d'apprentissages</td></tr><tr><td><ul><li>Résoudre des problèmes additifs en une ou plusieurs étapes</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary><BLOCKQUOTE> Dans la continuité de ce qui a été mené au CM1, l’élève résout des problèmes additifs (parties-tout) en une ou plusieurs étapes en s’appuyant, si nécessaire, sur des schémas en barre ou des schémas avec un déplacement sur un axe. <ul><li>« Qassim a acheté un reblochon à 9 €, une tranche de Beaufort à 13,85 € et un camembert. Il a donné un billet de 50 € au fromager qui lui a rendu 21,45 €. Quel est le prix du camembert ? ». <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a71.png"> D’autres schémas sont possibles comme par exemple : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a72.png"> ou encore un schéma par étape : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a73.png"></li><li>Côme est allé faire des courses ce matin. Il est d’abord passé devant la banque où il a retiré 40 € au distributeur automatique. Il est ensuite passé à la boucherie où il a acheté un rôti coutant 17,80 €. Quand il rentré chez lui, il a constaté qu’il lui restait 31,40 €. Quelle somme d’argent Côme avait-il sur lui en sortant ce matin ? L’axe peut être chronologique, c’est-à-dire qu’on se déplace vers la droite au fur et à mesure des actions : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a75.png"> ou numérique, c’est-à-dire qu’on va vers la droite quand la somme d’argent que Côme a sur lui augmente, et vers la gauche quand elle diminue : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a76.png"> </li><li>Yseult partage une pizza avec son frère et sa soeur. Elle donne 512 de la pizza à sa grande soeur et 14 de la pizza à son petit frère. Quelle fraction de la pizza Yseult a-t-elle gardée pour elle ? »</li></ul>L’élève résout des problèmes de comparaison de quantités ou de grandeurs qui se traitent en deux étapes. Il peut, par exemple, s’agir de problèmes impliquant la valeur de la réunion des deux quantités ou grandeurs réunies et nécessitant donc une étape supplémentaire, comme :<ul><li>Léo et Lucie ont 43,40 € à eux deux. Lucie a 7,80 € de plus que Léo. Combien chaque enfant a-t-il d’euros ? <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a77.png"></li> </ul> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul><li>Résoudre des problèmes multiplicatifs de type « parties-tout » en une étape</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE>L’élève sait résoudre des problèmes multiplicatifs similaires à ceux rencontrés au CM1, mais dont le champ numérique est plus étendu. Les problèmes mettant en jeu des divisions concernent, dans un partage équitable, la recherche de la valeur d’une part, mais aussi celle de la recherche du nombre de parts lorsque la valeur d’une part est un nombre entier inférieur ou égal à 10. L’élève sait, pour faciliter la modélisation mathématique du problème, s’appuyer sur un schéma. <ul><li>Pour trouver la valeur d’une part dans un problème comme le suivant : « La maitresse de CM2 a acheté six dictionnaires pour la classe. Elle a payé 73,20 €. Quel est le prix d’un dictionnaire ? », l’élève peut, par exemple, réaliser le schéma suivant : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a78.png"></li><li>Pour trouver le nombre de parts dans un problème comme le suivant : « Lors d’une fête de village, monsieur Dupin vend des sandwichs. Chaque sandwich est vendu avec une boisson pour un montant total de 7 €. À la fin de la journée, la recette de monsieur Dupin est de 2 611 €. Combien de sandwichs monsieur Dupin a-t-il vendus ? », l’élève peut, par exemple, réaliser le schéma suivant : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a79.png"> </li></ul> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul><li>Résoudre des problèmes mixtes en plusieurs étapes</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary><BLOCKQUOTE>L’élève sait résoudre des problèmes engageant des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions, comme le suivant : Romy achète trois pains aux raisins à 1,35 euros l’un et sept chaussons aux pommes. Elle donne un billet de 20 € au boulanger qui lui rend 7,90 €. Quel est le prix d’un chausson aux pommes ? </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul><li>Résoudre des problèmes de comparaison multiplicative</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend le sens des locutions « fois plus » et « fois moins » et les distingue des locutions « de plus » et « de moins » qui apparaissent dans les problèmes de comparaison additive. L’élève sait résoudre des problèmes de comparaison multiplicative nécessitant plusieurs étapes, comme le suivant : « Axel achète une trottinette et un casque. La trottinette coute quatre fois plus cher que le casque. Axel paie 161,25 €. Combien coute la trottinette ?<img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a7a.png"> </BLOCKQUOTE></details></td></tr><tr><td><ul><li>Résoudre des problèmes de dénombrement</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary><BLOCKQUOTE>L’élève sait résoudre des problèmes consistant à déterminer le nombre d’éléments d’un ensemble et qui ne se résolvent pas immédiatement par l’une des quatre opérations. Pour y parvenir, il présente les éléments à dénombrer selon une organisation permettant de les compter tous, une et une seule fois, sans oubli ni redondance. Ainsi l’élève sait avoir recours à un tableau, un arbre ou une liste organisée pour résoudre des problèmes de dénombrement comme les suivants :<ul><li>Telma a lancé une pièce de monnaie trois fois de suite. Elle a obtenu les résultats suivants : <table><tr><td>1er lancer</td><td>2e lancer</td><td>3e lancer</td></tr><tr><td>Face</td><td>Face</td><td>Pile</td></tr></table>Trouve tous les résultats qu’elle aurait pu obtenir.</li> <li>Arthur veut fabriquer un jeu de dominos. Dans ce jeu chaque domino doit être composé de deux nombres de points compris entre 0 et 6 et il ne peut pas y avoir deux dominos identiques. Quel est le nombre maximum de dominos que peut contenir ce jeu ? Attention : le domino <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a7d.png"> est le même que le domino <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a7e.png">. </li> </ul> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul><li>Résoudre des problèmes d’optimisation</li></ul><details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary><BLOCKQUOTE>L’élève sait résoudre des problèmes consistant à trouver une solution optimale parmi plusieurs solutions respectant plusieurs contraintes, comme les problèmes suivants.<ul><li>Madame Lidon souhaite réaliser des étagères. Pour une étagère, il lui faut une planche de deux mètres, deux équerres et neuf vis. Elle dispose de : <ul><li>6 planches de cinq mètres ;</li><li>40 équerres ;</li><li>120 vis.</li></ul>Quel est le nombre maximal d’étagères que peut fabriquer madame Lidon ?</li><li>Azmar veut fabriquer des torchons avec un reste de tissu et un reste de ruban. Il veut fabriquer des torchons rectangulaires de 80 cm de longueur et 50 cm de largeur autour desquels il souhaite coudre du ruban. <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a7f.png"> Le reste de tissu dont dispose Azmar est un rectangle qui mesure 3 m de longueur et 2,40 m de largeur et il a 50 m de ruban. Quel est le nombre maximum de torchons que peut fabriquer Azmar ?</li> </ul> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul><li>Résoudre des problèmes préparant à l’utilisation d’algorithmes</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE>L’élève sait résoudre un problème consistant à rechercher toutes les solutions vérifiant certaines conditions parmi un ensemble de cas possibles. Il sait organiser sa recherche de façon à assurer l’exhaustivité de sa réponse. L’élève sait par exemple résoudre des problèmes comme les suivants.<ul><li>Trouver toutes les dimensions possibles pour les rectangles ayant des côtés mesurant un nombre entier de centimètres et ayant une aire égale à 60 cm².</li><li>Alice a 100 oeufs qu’elle veut ranger dans des boites. Elle a vingt boites de 6 oeufs et vingt boites de 10 oeufs. Elle veut que tous les oeufs soient dans des boites et que toutes les boites soient pleines. Quelles sont toutes les solutions possibles ?</li><li>Il y a 30 élèves dans une classe de CM2. Le maitre veut faire des groupes comportant tous le même nombre d’élèves. Il souhaite qu’il y ait un nombre impair d’élèves dans chaque groupe. Quelles sont toutes les solutions possibles ?</li> </ul> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Algèbre</summary> L’objectif de cette sous-partie est d’initier les élèves à la « pensée algébrique » et en particulier de développer leur capacité à résoudre des problèmes en raisonnant sur des nombres sans connaître leur valeur. Les élèves apprennent à désigner ces nombres par des symboles ou par des lettres et à raisonner en écrivant avec ces symboles des relations mathématiques. Ils sont aussi amenés à identifier et à généraliser des structures, notamment dans le cadre de suites de motifs ou de suites de nombres ou de symboles en exprimant la relation entre deux éléments consécutifs ou entre le rang d’un élément et la valeur associée. Les nombres dont la valeur n’est pas connue peuvent être représentés par un symbole dans deux cas de figure : <ul> <li>d’une part, dans des situations où on cherche à trouver leur valeur. Par exemple, on peut utiliser la représentation <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9f2cfcf92000be7ea77ec0158.png" width=30%> pour traduire que 2 paires de ciseaux et 3 stylos coûtent 20 euros ;</li> <li>d’autre part, dans des situations où le symbole a un caractère générique et représente différentes valeurs que le nombre peut prendre. Par exemple, si on achète des tee-shirts à 12 € et si le coût de la livraison est 5 €, alors quel que soit le nombre de tee-shirts achetés, le prix à payer, en euro, peut s’écrire (N × 12) + 5, où N est le nombre de tee-shirts achetés. Des relations faisant intervenir des nombres inconnus peuvent aussi être représentées par des schémas en barre dans le cadre de la résolution de problèmes.</li> </ul> Le travail mené conduit à étendre le sens du signe « = » : il n’est pas simplement un symbole placé entre une opération et son résultat. Il peut être placé entre deux expressions qui sont égales, ce qui conduit notamment à faire poindre la notion d’équation, comme dans l’égalité à compléter suivante : « 178 – … = 6 × 8 ». <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm2> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td> <ul><li>Trouver le nombre manquant dans une égalité à trous</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> Dans des cas simples, l’élève sait trouver mentalement le nombre manquant dans une égalité, par exemple à partir d’égalités comme les suivantes : 347 = 20 + … ; 5 760 – … = 5 360 ; … – 1 = 3 999 ; 2 × 137 × 5 = 137 × … ; 24 × 5 = … × 10 ; 24 × 5 = 20 × 5 + … × 5 ; 144 + 237 = … + 239 ; 142 – 54 = … – 57. L’élève sait trouver le nombre manquant dans une égalité à trou comme (2 × …) – 5 = 23 en utilisant ses connaissances en calcul et les propriétés des opérations. Les membres des égalités proposées contiennent au plus deux opérations comme 8 + (2 × …) = 11 ou 18 = 10 + (… ÷ 5). </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr><tr><td> <ul><li>Résoudre des problèmes algébriques</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend que des nombres inconnus peuvent être représentés par des lettres ou des symboles. L’élève sait résoudre des problèmes où des nombres sont représentés par des symboles. Par exemple : <ul><li>On dispose de paires de ciseaux toutes identiques et de crayons tous identiques. On dispose des résultats suivants issus de deux pesées : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a80.png"><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a81.png"> Quelle est la masse d’une paire de ciseaux ? Quelle est la masse d’un crayon ?</li></ul> L’élève sait s’appuyer sur des schémas pour représenter des relations entre les inconnues d’un problème. Par exemple l’élève sait résoudre un problème comme le suivant. <ul><li>Dans un paquet de billes rouges, vertes et bleues, il y a 179 billes. Il y a quatre fois plus de billes rouges que de billes vertes et il y a 17 billes vertes de moins que de billes bleues. Combien y a-t-il de billes de chaque couleur ?</li></ul> Pour cela l’élève sait s’appuyer sur un schéma comme celui-ci :<img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a82.png"> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul><li>Exécuter ou produire un programme de calcul</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary><BLOCKQUOTE> L’élève sait déterminer le nombre obtenu quand on applique à un nombre donné, par exemple 9, un programme de calcul comme le suivant : <ul><li>Choisir un nombre entier.</li><li>Ajouter 2 au nombre choisi.</li><li>Multiplier le résultat trouvé à l’étape précédente par 4.</li><li>Retirer 3 au nombre obtenu à l’étape précédente.</li><li>Écrire le nombre obtenu.</li></ul> Les programmes comprennent au plus trois étapes de calcul. Les programmes de calcul utilisés peuvent être codés avec un logiciel de programmation par bloc comme Scratch ou sur une feuille d’un tableur en faisant apparaitre les différentes étapes, de manière à vérifier les résultats obtenus. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul><li>Identifier et formuler une règle de calcul pour poursuivre une suite de nombres</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary><BLOCKQUOTE> L’élève sait déterminer comment va se poursuivre une suite de nombres dans des cas simples et donner les trois termes suivants, par exemple pour les suites : <ul><li>3 ; 7 ; 11 ; 15 ; etc.</li><li>4 ; 12 ; 36 ; 108 ; etc.</li><li>3 ; 7 ; 12 ; 18 ; etc.</li><li>7 ; 12 ; 22 ; 42 ; etc.</li> <li>7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127, etc.</li></ul> Pour certaines suites, plusieurs « règles » de calcul peuvent être trouvées, par exemple, pour la suite 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127, etc., les élèves peuvent proposer comme règles de calcul : <ul><li>prendre le double du nombre et ajouter 1 pour trouver le nombre au rang suivant : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a83.png"></li><li>ajouter successivement 8, puis le double de 8, puis le double du double de 8, etc. : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a84.png"></li></ul>Dans le cas d’une suite pour laquelle un même nombre est ajouté à chaque étape, l’élève sait déterminer la valeur d’un terme de rang éloigné. Par exemple, pour la suite « 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; etc. », l’élève sait déterminer le 100e nombre de la suite en reconnaissant une relation entre le rang d’un terme et sa valeur, par exemple en organisant ses calculs comme dans le tableau ci-dessous : <table><tr><td>Place</td><td>Valeur</td></tr><tr><td>1</td><td>5 = 2 + 1 × 3</td></tr><tr><td>2</td><td>8 = 2 + 2 × 3</td></tr><tr><td>3</td><td>11 = 2 + 3 × 3</td></tr><tr><td>4</td><td>14 = 2 + 4 × 3</td></tr><tr><td>…</td><td>…</td></tr><tr><td>100</td><td>2 + 100 × 3 = 302</td></tr></table> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive</li> <li>Trouver le nombre d’éléments pour une étape donnée dans une suite de motifs évolutive</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait, par exemple, déterminer le nombre d’éléments des motifs que l’on trouvera aux trois étapes suivantes des suites dont les premiers motif sont : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a85.png"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a87.png"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/c06605aaf264b0af45c705a88.png"> Pour cela, l’élève sait formuler une relation, soit entre le nombre d’éléments à une étape donnée et le nombre d’éléments à l’étape précédente, soit, directement, entre le nombre d'éléments à une étape donnée et le rang de l'étape. </BLOCKQUOTE></details></td></tr></table></BLOCKQUOTE> </details> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=sixieme_fonce><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/npFkhTwJQ#lecture" target="_self">Sixième</a></summary> </details> <style> .menuselect {background-color: rgb(255,254,145); color:rgb(232,111,14); font-weight:600;} .cm1_clair {background-color: rgb(232,239,248);} .cm2_clair {background-color: rgb(213,255,237);} .sixieme_clair {background-color: rgb(244,234,243);} .cm1_fonce {background-color: rgb(207,222,241); font-size:18px; font-weight:600;} .cm2_fonce {background-color: rgb(169,255,218); font-size:18px; font-weight:600;} .sixieme_fonce {background-color: rgb(232,212,230); font-size:18px; font-weight:600;} .titre {text-align:left; font-size:28px; font-weight:700;} .rubrique {font-weight:600;} .sous_rubrique {font-weight:600; font-size:16px} .objectifs_cm1 {background-color: rgb(207,222,241); font-size:16px; } .objectifs_cm2 {background-color: rgb(169,255,218); font-size:16px; } .objectifs_sixieme {background-color: rgb(232,212,230); font-size:16px; } .tg {border-collapse:collapse;border-spacing:0;} .tg td{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px; overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg th{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px; font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg .tg-baqh{text-align:center;vertical-align:top} .tg .tg-c3ow{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top} .tg .tg-c3ow-select{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color: rgb(255,254,145); color:rgb(232,111,14); font-weight:600; } .tg .tg-0pky{border-color:inherit;text-align:left;vertical-align:top} .tg .tg-0pky-select{border-color:inherit;text-align:left;vertical-align:top;background-color: rgb(255,254,145); color:rgb(232,111,14); font-weight:600;} .tg .tg-cm1{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color: rgb(232,239,248);} .tg .tg-cm2{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color:rgb(213,255,237)} .tg .tg-sixieme{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color: rgb(244,234,243);} .tg .tg-cm1-select{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color: rgb(207,222,241); font-weight:800;} .tg .tg-cm1-select a {color:rgb(232,111,14)} .tg .tg-cm2-select{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color:rgb(169,255,218); font-weight:800;} .tg .tg-cm2-select a {color:rgb(232,111,14)} .tg .tg-sixieme-select{border-color:inherit;text-align:center;vertical-align:top;background-color: rgb(232,212,230); font-weight:800;} .tg .tg-sixieme-select a {color:rgb(232,111,14)} .exreussite {background-color:rgb(255,253,170);} </style>