--- maths: true theme: colors --- # Calculer une longueur dans un triangle <div style="display:flex;"> <div style="margin:auto;"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_2b4cb76345be16acb6015caba9d9d097.png" width=100%> </div> <div style="margin:auto;"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_56fd9ad14d357428e80c285c3edda464.png" width=100%> </div> <div style="margin:auto;"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_72db9790fd937bf3a914a177fcf96f30.png" width=100%> </div> </div> ## Avec le théorème de Pythagore ### Énoncé du théorème de Pythagore <div style="display:flex;"> <div style="width:100%;"> Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. :::warning Égalité de Pythagore $$a^2 + b^2 = c^2$$ ::: où $a$ et $b$ sont les longueurs des côtés de l'angle droit et où $c$ est l'hypoténuse. </div> <div style="text-align:center"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_4258688d123350d66d64980e6a149d72.png" width=50%> </div> </div> ### Application simple #### Consigne Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$, avec $AB = 3\,\textrm{cm}$ et $AC = 4\,\textrm{cm}$. Déterminer la longueur de $BC$. <div style="width:50%; margin:auto;"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_2b4cb76345be16acb6015caba9d9d097.png"> </div> #### Correction :::info collapsible Voir la correction Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et son hypoténuse est $BC$. On peut appliquer le théorème de Pyhtagore et on a : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ $BC = \sqrt{25}= 5\,\text{cm}$ $BC$ mesure donc $5\,\textrm{cm}$. ::: ## Avec le théorème de Thalès ### Énoncé du théorème de Thalès <div style="display:flex;"> <div style="width:100%;"> Soit deux triangles $ABC$ et $AMN$, si on a : - $A$, $D$ et $B$ alignés - $A$, $E$ et $C$ alignés - $(BC) /\hspace{-0.1cm}/ (DE)$ </div> <div style="text-align:center"> <img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Thales_theorem_1.svg/1200px-Thales_theorem_1.svg.png" width=50%> </div> </div> Alors, le théorème de Thalès s'applique et donc les longueurs des deux triangles sont proportionelles. On a les égalités suivante : <div> :::warning Égalités de Thalès $$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$$ ::: </div> ### Application simple #### Consigne **Déterminer la valeur de $x$ dans la figure ci-dessous** <div style="width:50%; margin:auto;"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_56fd9ad14d357428e80c285c3edda464.png"> <p style="font-size:0.75em; color:lightgray; text-align:right;">Source : Sesamath</p> </div> #### Correction :::info collapsible Voir la correction Dans les triangles $AMT$ et $ASH$, je remarque que : - $A$, $M$ et $S$ sont alignés. - $A$, $T$ et $H$ sont alignés. - $(MT) /\hspace{-0.1cm}/ (SH)$ On peut appliquer le théorème de Thalès et on a : $\dfrac{AM}{AS}=\dfrac{AT}{AH}=\dfrac{MT}{SH}$ On remplace par les valeurs données (sachant que : $AH=3+7=10$) : $\dfrac{AM}{AS}=\dfrac{3}{10}=\dfrac{x}{17{,}5}$ On en déduit que : $x=\dfrac{3\times17{,}5}{10}=5{,}25$ ::: ## Avec la trigonométrie ### Rappel des formules trigonométrique <div style="display:flex;"> <div style="width:100%;"> Dans un triangle rectangle quelconque, pour un angle aigu $\widehat{CAB}$, on a les égalités suivantes : </div> <div style="text-align:center"> <img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Rtriangle.svg/559px-Rtriangle.svg.png" width=50%> </div> </div> <div style="font-size:0.95em;"> :::warning Égalités trigonométriques - $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\textrm{côté adjacent}}{\textrm{hypoténuse}}=\dfrac{b}{c}$ - $\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\textrm{côté opposé}}{\textrm{hypoténuse}}=\dfrac{a}{c}$ - $\tan(\widehat{A}) = \dfrac{\textrm{côté opposé}}{\textrm{côté adjacent}}=\dfrac{a}{b}$ ::: </div> On peut se souvenir facilement de ces égalité à l'aide de ce moyen mnémotechnique : :::tip Moyen mnémotechnique <div style="text-align:center;"> **CAHSOTOA** **C**osinus **A**djacent **H**ypoténuse **S**inus **O**pposé **H**ypoténuse **T**angente **O**pposé **A**djacent **H**ypoténuse </div> ::: ### Application simple #### Consigne **Déterminer la longueur du segment $[SO]$ dans la figure ci-dessous** <div style="width:50%; margin:auto;"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_72db9790fd937bf3a914a177fcf96f30.png"> <p style="font-size:0.75em; color:lightgray; text-align:right;">Source : Sesamath</p> </div> #### Correction :::info collapsible Voir la correction Le triangle $SOL$ est rectangle en $L$ et $SO$ est son hypotenuse. On sait que $LS=5\,\textrm{cm}$ et que $\widehat{LOS}=83^\circ$ Les formules trigonométriques s'appliquent et on a : $\sin(\widehat{LOS})=\dfrac{LS}{SO}$ On a donc : $SO=\dfrac{LS}{\sin(\widehat{LOS})}=\dfrac{5\,\textrm{cm}}{\sin(83^\circ)}$ $SO\approx\dfrac{5\,\textrm{cm}}{0,9925}\approx5{,}04\,\textrm{cm}$ La longueur du segment $[SO]$ est donc d'environ $5{,}04\,\textrm{cm}$. ::: <style> img{ box-shadow: 2.5px 2.5px 2.5px lightgray; } </style>