Nombres, calcul et résolution de problèmes - programme math cycle 3 - CM1

--- tags: Maths, cycle3 title: Nombres, calcul et résolution de problèmes - programme math cycle 3 - CM1 ---  Pour accéder au programme de mathématiques de cycle 4 : <a href="https://codimd.apps.education.fr/s/OePHSy8VU" target="_self">CLIQUEZ ICI</a> <table class="tg" style="undefined;table-layout: fixed; width: 750px"><colgroup> <col style="width: 180px"> <col style="width: 600px"> <col style="width: 62px"> <col style="width: 62px"> <col style="width: 62px"> </colgroup> <thead> <tr> <th class="tg-baqh" colspan="2" style="background-color:rgb(159,111,63);">Mathématiques au cycle 3 Programme et ressources </th> <th class="tg-baqh" colspan="3" style="background-color:rgb(159,111,63);"><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9f2cfcf92000be7ea77ec0146.png"></th> </tr></thead> <tbody> <tr> <td class="tg-c3ow" rowspan="8"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9f2cfcf92000be7ea77ec0145.png"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_41baf353f9b90cd2820ccc09db7c67c9.png" width="100"> Cette page sur mobile <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9f2cfcf92000be7ea77ec0141.png"> </td> <td class="tg-0pky" colspan="4"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/R-N-hbQka#lecture" target="_self">Accueil</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/YVTnK7QzP#lecture" target="_self">Principes</a></td> <td class="tg-c3ow" colspan="3"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/YVTnK7QzP#lecture" target="_self">Cycle 3</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky-select">Nombres, calcul et résolution de problèmes</td> <td class="tg-cm1-select"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/ePKtE5rOr#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/XlVoQb3_z#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/npFkhTwJQ#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">Grandeurs et mesures</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/1Awc3Wv5X#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/3_6dww4-Z#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/oNyXz0Sre#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">Espace et géométrie</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/Gysew9g7w#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/4Sh16QJEh#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/5LObou2nf#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">Organisation et gestion de données et probabilités</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/y2jrr1x-J#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/mAqD_tN9y#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/2Ze13VoOF#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">La proportionnalité</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/vrCfRhWnB#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/bXJ7kAZjX#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/HMljH5nyN#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> <tr> <td class="tg-0pky">Initiation à la pensée informatique</td> <td class="tg-cm1"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/Wiwf_-lgH#lecture" target="_self">CM1</a></td> <td class="tg-cm2"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/GJHdVf0RR#lecture" target="_self">CM2</a></td> <td class="tg-sixieme"><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/E5eyaqR0t#lecture" target="_self">6e</a></td> </tr> </tbody></table>  Nombres, calcul et résolution de problèmes  <details> <summary class=rubrique>Introduction</summary> Au cycle 3, l'objectif est de poursuivre la compréhension de notre système de numération et de mobiliser ses propriétés lors de calculs. L’apprentissage des techniques opératoires et la compréhension des nombres se développent alors conjointement. En effet, l’enseignement des procédures utilisées pour effectuer des opérations ou des calculs dans toutes leurs modalités fournit des occasions aux élèves de faire évoluer leur compréhension du nombre. Il s’agit d’amener l’élève à adopter la procédure la plus efficace en fonction de ses connaissances ainsi que des nombres et des opérations mis en jeu dans les calculs. De même, si la maîtrise des techniques opératoires écrites permet à l’élève d’obtenir un résultat, la construction de ces techniques est l’occasion de retravailler les propriétés de la numération et de rencontrer des exemples d’algorithmes complexes. Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent d’enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d’en étudier de nouvelles. </details>  <details open> <summary class=cm1_fonce>Cours moyen première année</summary> <BLOCKQUOTE class=cm1_clair> <details> <summary class=rubrique>Les nombres entiers</summary> Au CM1, la compréhension des aspects décimal (base dix) et positionnel (la valeur d’un chiffre dépend de sa position) de la numération, étudiés depuis le CP, se renforce et s’étend avec l’introduction de deux nouveaux rangs dans l’écriture chiffrée : ceux des dizaines de milliers et des centaines de milliers. Ainsi, les connaissances et les savoir-faire attendus en fin de CM1 concernent les nombres s’écrivant avec au plus six chiffres. Toutefois, afin de renforcer les connaissances sur la numération relevant du cycle 2 et de privilégier en début d’année l’approfondissement de l’étude des fractions et des nombres décimaux, on se limite, pendant les deux premières périodes de l’année, aux nombres entiers s’écrivant avec au plus quatre chiffres. Les nombres écrits avec cinq ou six chiffres ne sont abordés qu’à partir de la période 3 ou du début de la période 4. Les élèves utilisent, comme au cours des années précédentes, des représentations du matériel multibase lors des travaux menés sur les nombres. Les élèves qui en ont besoin peuvent être invités à manipuler des objets tangibles, comme des cubes de mille unités, des plaques de cent unités, des barres de dix unités, des cubes unités. La notion de multiple, introduite au cycle 2, est réactivée. Seuls les critères de divisibilité par 2, par 5 et par 10 figurent au programme. Dans les autres cas, les élèves s’appuient sur la connaissance des tables de multiplication ou effectuent des divisions ou des multiplications. <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td><ul> <li>Comparer et dénombrer des collections en les organisant</li> <li>Construire des collections de cardinal donné</li> <li>Connaître et utiliser les relations entre les unités de numération</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève compare, dénombre et construit des collections de cardinal donné en organisant les éléments par dizaines, centaines, milliers, dizaines de milliers et centaines de milliers. L’élève est régulièrement confronté à des collections partiellement organisées dans lesquelles le nombre de groupements correspondant à une unité de numération donnée est supérieur à dix, par exemple, une collection composée de 17 unités, 8 dizaines, 31 centaines et 2 milliers. L’élève sait résoudre un problème comme le suivant : <ul> <li>« Une entreprise a produit 342 320 filtres à café en une semaine. Les filtres sont conditionnés et vendus dans des cartons de dix boites contenant chacune cent filtres. Combien l’entreprise va-t-elle pouvoir livrer de cartons à l’issue de cette semaine de production ? »</li> </ul> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Connaître la suite écrite et la suite orale des nombres jusqu’à 999 999</li> <li>Connaître la valeur des chiffres en fonction de leur position dans un nombre</li> <li>Connaître et utiliser diverses représentations d’un nombre et passer de l’une à l’autre</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend et utilise différentes désignations possibles d’un même nombre, notamment : <ul> <li>l’écriture en chiffres (34 605) ;</li> <li>des décompositions en unités de numération (3 dizaines de milliers et 4 milliers et 6 centaines et 5 unités ou 34 milliers et 605 unités ou 34 605 unités, mais aussi d’autres décompositions, comme 60 dizaines et 34 milliers et 5 unités ou 36 centaines et 5 unités et 31 milliers) ;</li> <li>le nom à l’oral (« trente-quatre-mille-six-cent-cinq ») ;</li> <li>la décomposition du type : (3 × 10 000) + (4 × 1 000) + (6 × 100) + (0 × 10) + (5 × 1) ;</li> <li>la décomposition additive sous la forme 30 000 + 4 000 + 600 + 5 ;</li> <li>l’écriture en lettres (trente-quatre-mille-six-cent-cinq).</li> </ul> L’élève sait écrire en chiffres un nombre dicté. Il sait également lire un nombre écrit en chiffres et l’écrire en lettres. Quand il écrit un nombre ayant plus de quatre chiffres, l’élève laisse un espace entre les trois chiffres de droite et les autres chiffres. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Comprendre et savoir utiliser les expressions « égal à », « supérieur à », « inférieur à », « compris entre … et … »</li> <li>Comparer, encadrer, intercaler des nombres entiers en utilisant les symboles =, < et > </li> <li>Ordonner des nombres dans l’ordre croissant ou décroissant</li> <li>Savoir placer des nombres et repérer des points sur une demi-droite graduée</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait ordonner cinq nombres entiers dans l’ordre croissant ou décroissant. L’élève sait placer un nombre ou déterminer le nombre correspondant à un point sur une portion de demi-droite pouvant être graduée de un en un, de dix en dix, de cent en cent, de mille en mille, de dix-mille en dix-mille ou de cent-mille en cent-mille. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Savoir reconnaître les multiples de 2, de 5 et de 10 à partir de leur écriture chiffrée</li> <li>Savoir déterminer si un nombre entier donné est un multiple d’un nombre entier inférieur ou égal à 10</li> <li>Savoir déterminer si un nombre entier inférieur ou égal à 10 est un diviseur d’un nombre entier donné</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait dire que : <ul><li>141 n’est pas un multiple de 2, car 141 est un nombre impair ;</li> <li>5 n’est pas un diviseur de 141, car les multiples de 5 sont les nombres dont l’écriture se termine par 0 ou 5 ;</li> <li>72 est un multiple de 9 car 8 × 9 = 72 ;</li> <li>141 n’est pas un multiple de 7, en trouvant, par essais multiplicatifs successifs ou en effectuant la division euclidienne de 141 par 7, que 141 = 7 x 20 + 1 ;</li> <li>3 est un diviseur de 141, en trouvant, par essais multiplicatifs successifs ou en effectuant la division euclidienne de 141 par 3, que 3 × 47 = 141 ;</li></ul> L’élève sait résoudre des problèmes comme les suivants : <ul><li>Marius veut ranger 75 billes dans des sachets qui comportent tous le même nombre de billes. Il veut ranger toutes ses billes. Peut-il les répartir dans 10 sachets ? dans 2 sachets ? dans 5 sachets ? dans 7 sachets ? dans 3 sachets ? Explique tes réponses.</li> <li>Fanny veut ranger 75 billes dans des sachets qui comportent tous le même nombre de billes. Elle veut ranger toutes ses billes. Peut-elle les répartir dans des sachets de 10 billes ? de 2 billes ? de 5 billes ? de 3 billes ? Explique tes réponses.</li></ul> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Les fractions</summary> Au CM1 les élèves renforcent les connaissances et les savoir-faire acquis au cycle 2 sur les fractions en étendant leur étude aux fractions supérieures à 1. Les fractions sont utilisées avec différents sens : <ul> <li>comme au CE1, les fractions sont utilisées pour représenter une partie d’un tout dans le cadre d’un partage de ce tout en parts égales, la fraction étant alors le rapport entre la partie et le tout ;</li> <li>dans la continuité du CE2, les fractions sont utilisées pour mesurer des grandeurs lorsque les nombres entiers ne sont pas suffisants ;</li> <li>le travail sur la mesure de longueurs à l’aide de fractions permet d’introduire le repérage de points sur une demi-droite graduée par des fractions, et contribue ainsi à donner aux fractions le statut de nombres, qui s’intercalent entre les nombres entiers déjà connus ;</li> <li>au CM1, les fractions acquièrent également le statut d’opérateur multiplicatif pour le cas particulier des fractions unitaires ; les élèves apprennent à calculer des fractions de quantités ou de grandeurs comme un tiers de 12 billes ou un quart de 100 mètres.</li> </ul> Dans la continuité du cycle 2, les élèves travaillent avec des fractions dès la période 1 et les utilisent tout au long de l’année scolaire. Les fractions rencontrées au CM1 ont toutes un dénominateur inférieur ou égal à 20, hormis les fractions décimales qui peuvent avoir un dénominateur égal à 100. <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td><ul> <li>Savoir interpréter, représenter, écrire et lire des fractions</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que sept quarts s’écrit mathématiquement 7 4 . Il sait dire que 7 4 d’une unité correspond à sept fois un quart de cette unité. L’élève sait que 7 4 u = 1 4 u + 1 4 u + 1 4 u + 1 4 u + 1 4 u + 1 4 u + 1 4 u = 7 × 1 4 u. La verbalisation contribue à donner du sens au produit. Des manipulations, des représentations et des constructions peuvent également contribuer à renforcer la compréhension de ce produit.<img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa18.png"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa1a.png"> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Savoir écrire une fraction supérieure à 1 comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1</li> <li>Savoir écrire la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 comme une unique fraction</li> <li>Savoir encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait dire si une fraction est inférieure ou supérieure à 1. L’élève sait que 7 4 d’une unité est égal à 1 unité plus 3 4 d’une unité : 7 × 1 4 u = 7 4 u = 4 4 u + 3 4 u = 1 u + 3 4 u. <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa1e.png"> L’élève comprend que sept quarts de pizza, c’est quatre quarts de pizza plus trois quarts de pizza, c’est-à-dire une pizza plus trois quarts de pizza. <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa1f.png"> Une unité de longueur étant donnée, l’élève sait construire une bande de papier de longueur 7 4 d’unité. L’élève sait construire un segment de longueur 5 u + 1 4 u. L’élève sait associer les désignations suivantes d’une même fraction : « neuf quarts » ; 9 4 ; 9 × 1 4 ; 2 + 1 4 . En prenant appui sur la relation 3 3 = 1, l’élève sait écrire 2 + 2 3 sous la forme 8 3 . Réciproquement, il sait décomposer 8 3 sous la forme 3 3 + 3 3 + 2 3 = 2 + 2 3 L’élève sait déduire de l’égalité 21 8 = 2 + 5 8 que 21 8 est compris entre 2 et 3. L’élève sait encadrer la fraction 16 3 entre deux nombres entiers consécutifs en s’appuyant sur sa connaissance de la relation 3 3 = 1 et de la table de la multiplication par 3 : 15 3 < 16 3 < 18 3 donc 5 < 16 3 < 6. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Savoir placer une fraction ou la somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à un sur une demi-droite graduée</li> <li>Savoir repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction ou par la somme d’un nombre entier et d’une fraction</li></ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que, sur une demi-droite graduée avec une unité de longueur, un point peut être repéré par le nombre, appelé l’abscisse de ce point, qui est la mesure de la distance entre ce point et l’origine de la demi-droite graduée. L’élève sait placer des points ayant pour abscisse un nombre comme 3 4 , 7 2 , 2 + 1 4 , 5 + 7 10 et 37 10 sur une demi-droite graduée avec des graduations permettant de positionner précisément ces points. L’élève sait que 2 + 2 3 , 3 - 1 3 et 8 3 sont différentes écritures de l’abscisse du point A, positionné sur la demi-droite graduée ci-dessous. <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa24.png"> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Comparer des fractions</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa26.png" style="float:right;"> L’élève sait expliquer pourquoi 6 8 est égal à 3 4 , en s’appuyant sur des manipulations, sur des grandeurs (longueurs ou aires) ou sur une verbalisation du type : <ul> <li> « Si je fais des parts deux fois plus petites et si je prends deux fois plus de parts, alors je prends la même chose. » ;</li> <li> « Un huitième c’est la moitié d’un quart, donc un quart, c’est deux huitièmes et donc trois quarts est égal à six huitièmes. ».</li> </ul>L’élève sait répondre à la question suivante : « Parmi les fractions 2 3 , 5 4 , 9 6 , 15 10 et 6 4 , quelles sont les fractions égales à 3 2 ? ». L’élève sait déterminer le numérateur manquant dans l’égalité ? 8 = 7 2 et il sait justifier sa réponse. L’élève sait comparer deux fractions ayant le même numérateur et justifier sa réponse : par exemple, « Comparer 5 12 et 5 8 ». L’élève sait comparer deux fractions de même dénominateur ou de dénominateurs différents, mais dont l’un est un multiple connu de l’autre (résultat des tables de multiplication) et justifier sa réponse : par exemple, « Comparer 7 4 et 19 12 ». </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Additionner et soustraire des fractions</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait additionner et soustraire des fractions ayant le même dénominateur. L’élève sait additionner et soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, dans le cas où l’un des dénominateurs est un multiple connu de l’autre (résultat des tables de multiplication), par exemple : 3 2 + 7 4 ; 5 6 - 1 12 ; 11 4 - 7 20 . Les changements de dénominateurs sont systématiquement accompagnés par une justification orale des égalités de fractions et, si nécessaire, par des manipulations ou des représentations correspondant aux fractions en jeu. L’élève sait résoudre des problèmes additifs dans lesquels les données numériques sont des fractions simples. </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Déterminer une fraction d’une quantité ou d’une grandeur</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait déterminer une fraction d’une quantité ou d’une grandeur dans le cas d’une fraction unitaire, c’est-à-dire dont le numérateur est égal à 1. Par exemple : <ul><li> 1 3 de douze oeufs ;</li> <li> 1 10 de 500 g de farine ;</li> <li> 1 5 de 60 kg de sable ;</li> <li> 1 4 de 10 m.</li> </ul> L’élève sait répondre à ces questions à l’oral ou à l’écrit, sans utiliser d’égalité mathématique. Il sait justifier sa réponse oralement en produisant une phrase comme : « Pour trouver un tiers de douze oeufs, je partage en trois parts égales, comme douze c’est trois fois quatre, cela fait quatre oeufs. », « Un quart c’est la moitié de la moitié, la moitié de dix mètres, c’est cinq mètres et la moitié de cinq mètres, c’est deux mètres et demi. ». Si besoin, il peut prendre appui sur un schéma pour associer la situation au calcul d’une division : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa28.png"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa29.png"> </BLOCKQUOTE> </details> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Les nombres décimaux</summary> Les nombres décimaux, abordés au cycle 2 par leurs écritures à virgule dans le cas particulier de la monnaie, sont réintroduits de manière plus générale au CM1 sous la forme de fractions décimales. L’écriture à virgule est réintroduite dans un second temps, comme un codage conventionnel de la décomposition canonique d’un nombre écrit sous la forme d’une somme de fractions décimales : ainsi l’écriture décimale 35,78 est présentée comme un codage destiné à simplifier l’écriture du nombre 35+ 7 10 + 8 100 . Cette section du programme entretient des liens forts avec : <ul> <li>la partie « Grandeurs et mesures » où les nombres décimaux sont largement utilisés ;</li> <li>les sous-parties « Calcul mental » et « Les quatre opérations » où sont présentées des compétences calculatoires que doivent développer les élèves sur les nombres décimaux ;</li> <li>la sous-partie « Résolution de problèmes » où les nombres décimaux prennent tout leur sens.</li> </ul> Au CM1, les nombres décimaux rencontrés ne vont pas au-delà des centièmes et s’écrivent donc avec au plus deux chiffres après la virgule. Des nombres décimaux exprimés avec une écriture à virgule sont rencontrés dès la période 1 dans le cadre de problèmes sur la monnaie prolongeant le travail mené au cycle 2. L’étude plus générale des nombres décimaux, introduits sous la forme de fractions décimales puis exprimés avec une écriture à virgule, est menée dès la période 2 du CM1. <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td><ul> <li>Interpréter, représenter, écrire et lire des fractions décimales</li> <li>Connaître et utiliser les relations entre unités simples, dixièmes et centièmes</li> <li>Placer une fraction décimale sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction décimale</li> <li>Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction décimale inférieure à 1</li> <li>Écrire une fraction décimale supérieure à 1 comme la somme d’un nombre entier et de fractions décimales ayant un numérateur inférieur à 10</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que 1 = 10 10 = 100 100 et 1 10 = 10 100 . L’élève sait représenter la fraction 143 100 par une grandeur (longueur ou aire), en utilisant du matériel tangible ou une représentation sur papier, telle que la suivante : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa30.png"> L’élève sait passer d’une écriture à une autre pour les trois écritures suivantes du même nombre : 417 100 ; 4 + 17 100 ; 4 + 1 10 + 7 100 . L’élève sait placer une fraction décimale sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par une fraction décimale. </BLOCKQUOTE></details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Comparer, encadrer, intercaler des fractions décimales en utilisant les symboles =, < et ></li> <li>Ordonner des fractions décimales dans l’ordre croissant ou décroissant</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait encadrer une fraction décimale par deux entiers consécutifs. L’élève sait comparer deux fractions décimales, par exemple 67 10 et 607 100 . L’élève sait ranger par ordre croissant les quatre nombres suivants : 2 ; 14 10 ; 120 100 ; 9 10 . L’élève sait intercaler une fraction décimale entre deux fractions décimales données. Par exemple, il sait compléter une expression comme : 14 10 < … < 15 10 . </BLOCKQUOTE></details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Passer d’une écriture sous forme d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales à une écriture à virgule et réciproquement</li> <li>Interpréter, représenter, écrire et lire des nombres décimaux (écriture à virgule)</li> <li>Placer un nombre décimal en écriture à virgule sur une demi-droite graduée et repérer un point d’une demi-droite graduée par un nombre décimal</li> <li>Savoir donner la partie entière et l’arrondi à l’entier d’un nombre décimal</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que, dans l’écriture à virgule d’un nombre, la virgule sert à repérer le chiffre des unités. Il sait que le chiffre qui suit la virgule est le chiffre des dixièmes et le suivant le chiffre des centièmes. L’élève sait que 4 + 1 10 + 7 100 peut s’écrire sous la forme 4,17 et que ce nombre se lit « quatre et dix-sept centièmes », ou « quatre unités et dix-sept centièmes » ou encore « quatre unités, un dixième et sept centièmes ». L’élève sait représenter le nombre 1,37 par une grandeur (longueur ou aire), en utilisant du matériel tangible ou une représentation sur papier, telle que la suivante : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa32.png"> L’élève sait passer d’une écriture à une autre pour les quatre écritures suivantes du même nombre : 4,17 ; 417 100 ; 4 + 17 100 ; 4 + 1 10 + 7 100 . L’élève sait que 2,6 = 2,60 et est capable de le justifier. À l’écrit et à l’oral, l’élève sait produire des suites de nombres de 0,1 en 0,1 et de 0,01 en 0,01 à partir d’un nombre donné. L’élève sait placer le nombre 2,8 sur une demi-droite graduée en dixième. L’élève sait qu’il faut écrire 339,16 dans le rectangle sur les zooms de la demi-droite graduée ci-dessous. <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa34.png"> L’élève sait donner la partie entière de 135,78. L’élève sait que l’arrondi à l’entier de 5,78 est 6 et que l’arrondi à l’entier de 3,5 est 4. </BLOCKQUOTE></details> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Comparer, encadrer, intercaler, ordonner, par ordre croissant ou décroissant, des nombres décimaux donnés par leur écriture à virgule en utilisant les symboles =, < et > </li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait comparer deux nombres décimaux, par exemple 4,52 et 4,7. L’élève sait encadrer 17,48 par deux entiers consécutifs. L’élève sait trouver un nombre décimal compris entre 1,9 et 2. L’élève sait ranger par ordre croissant ou décroissant jusqu’à trois nombres décimaux, par exemple : 2,12 ; 209 100 et 2,6. L’élève sait compléter l’inégalité suivante par un nombre qui convient : 2,9 < … < 3. </BLOCKQUOTE></details> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Le calcul mental</summary> L’enseignement du calcul mental au cours moyen est constitué de trois types d’apprentissages : <ul> <li>mémoriser des faits numériques qui peuvent être restitués de façon quasi instantanée ;</li> <li>utiliser les connaissances sur la numération pour effectuer rapidement des calculs, en s’appuyant notamment sur la position des chiffres dans les nombres ;</li> <li>maîtriser des procédures de calcul mental efficaces qui seront progressivement automatisées.</li> </ul> Certaines procédures de calcul mental peuvent nécessiter de garder des résultats intermédiaires en mémoire, ce qui peut être difficile pour certains élèves. Ceux-ci sont alors encouragés, au début des apprentissages, à noter par écrit ces résultats intermédiaires, puis à alléger progressivement le recours à l’écrit, jusqu’à s’en libérer totalement dès qu’ils n’en ont plus besoin. Au cours moyen, la mémorisation des résultats des tables d’addition et de multiplication se poursuit avec une fluence qui se renforce tout au long de l’année scolaire. Les procédures de calcul mental enseignées au cycle 2 sont utilisées tout au long de l’année, afin de renforcer leur automatisation. Les procédures doivent être explicitées et donner lieu à une trace écrite. D’autres procédures peuvent être enseignées ou simplement rencontrées et présentées. L’entraînement à une restitution rapide des résultats dans un climat serein et motivant aide les élèves à renforcer la mémorisation et l’automatisation des procédures. <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td style="background-color:rgb(240,240,240);">Mémoriser des faits numériques </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Connaître des faits numériques usuels relatifs aux nombres entiers</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève renforce sa maitrise des faits numériques appris au cycle 2 concernant les nombres entiers. L’élève connait les tables d’addition et de multiplication. Il sait compléter des « égalités à trou » du type : 4 + … = 12 ; 5 + 3 = … ; 10 = 7 + … ; 7 × … = 42 ; 9 × 6 = … ; 70 = 7 × … L’élève sait donner oralement et par écrit : <ul><li>les doubles des nombres de 1 à 20 ;</li> <li>les doubles des nombres 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60 et 75 ;</li> <li>les doubles des nombres 100, 150, 200, 250, 300, 400, 500 et 600 ;</li> <li>les moitiés des nombres pairs de 2 à 40 ;</li> <li>les moitiés des dizaines entières 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 et 150 ;</li> <li>les moitiés des centaines entières 200, 300, 400, 500, 600, 800, 1000 et 1200.</li></ul> L’élève connait les multiples de 25 suivants : 1 × 25 = 25, 2 × 25 = 50, 3 × 25 = 75 et 4 × 25 = 100. L’élève connait les décompositions multiplicatives de 60 : 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 et 6 × 10. L’élève sait ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 2 × __ = 12 ; 2 × 16 = … ; 2 × … = 70 ; 2 × 25 = … ; 1000 = 2 × … ; 2 × 150 = … ; 3 × 25 = … ; 60 = 4 × … </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Connaître quelques relations entre des fractions usuelles</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève connait des relations entre 1 4 , 1 2 et 1. Il sait ainsi compléter sans effectuer de calculs des « égalités à trou » du type : 1 2 + 1 2 =… ; 1 4 + 1 4 = … ; 1 - 1 2 = … ; 1 2 – 1 4 = … ; 1 2 = ... 4 ; ... 4 = 1. L’élève connait les relations entre 1 100 , 1 10 et 1. Il sait ainsi compléter des « égalités à trou » du type : 1 10 = ... 100 ; 1 = ... 10 ; 1 = ... 100 . </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Connaître l’écriture décimale de fractions usuelles</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait passer d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale et d’une écriture décimale à une écriture fractionnaire pour les nombres suivants : 1 10 = 0,1 ; 1 100 = 0,01. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td style="background-color:rgb(240,240,240);">Utiliser ses connaissances en numération pour calculer mentalement </td></tr> <tr><td><ul> <li>Ajouter ou soustraire un nombre entier inférieur à 10, d’unités, de dizaines, de centaines, de dixièmes ou de centièmes à un nombre décimal, lorsqu’il n’y a pas de retenue</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> À partir d’opérations données à l’écrit, l’élève sait identifier le chiffre sur lequel agir lorsqu’il doit effectuer une addition ou une soustraction, quelle que soit la façon dont les nombres sont désignés. Il sait, par exemple, trouver le résultat des opérations suivantes : <ul><li>4,45 + 0,3 ;</li> <li>0,45 + 3 100 ;</li> <li>1 462 + 300.</li> </ul> </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Multiplier un nombre entier par 10, 100 ou 1 000</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que, lors d’une multiplication par 1 000, une unité devient un millier, une dizaine devient une dizaine de milliers et une centaine devient une centaine de milliers. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 1 000 fois plus grande : le chiffre des unités devient le chiffre des milliers, le chiffre des dizaines devient le chiffre des dizaines de milliers et le chiffre des centaines devient le chiffre des centaines de milliers. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Multiplier un nombre décimal par 10</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que, lors de la multiplication d’un nombre décimal par 10, un dixième devient une unité, un centième devient un dixième et un millième devient un centième. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 10 fois plus grande : le chiffre des millièmes devient le chiffre des centièmes, le chiffre des centièmes devient le chiffre des dixièmes et le chiffre des dixièmes devient le chiffre des unités. Un outil de type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les multiplications par 10 d’un nombre décimal en complément de la verbalisation de la procédure en termes d’unités de numération. Exemple : multiplication de 72,41 par 10 : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa38.png"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa39.png"> 10 × 72,41 = 724,1. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Diviser un nombre décimal par 10</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que, lors d’une division par 10, une unité devient un dixième, une dizaine devient une unité et une centaine devient une dizaine. Ainsi, chaque chiffre du nombre initial prend une valeur 10 fois plus petite : le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes, le chiffre des dizaines devient le chiffre des unités et le chiffre des centaines devient le chiffre des dizaines. Un outil de type « glisse-nombres » peut être utilisé pour accompagner les divisions par 10, en complément de la verbalisation de la procédure en termes d’unités de numération. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td style="background-color:rgb(240,240,240);">Apprendre des procédures de calcul mental </td></tr> <tr><td><ul> <li>Ajouter ou soustraire 8, 9, 18, 19, 28, 29, 38 ou 39, à un nombre</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait, par exemple, que pour ajouter 38 à un nombre, il peut lui ajouter 40, puis retrancher 2. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Multiplier un nombre entier inférieur à 10 par un nombre entier de dizaines ou de centaines</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que, pour multiplier un nombre par un nombre entier de centaines comme 400, il peut décomposer le deuxième facteur sous la forme 4 × 100, puis appliquer la procédure de multiplication par 100. Par exemple : 9 × 400 = 9 × (4 × 100) = (9 x 4) × 100 = 36 × 100 = 3 600. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Multiplier un nombre entier par 4 ou par 8</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que multiplier par 4 revient à multiplier par 2 et encore par 2, c’est-à-dire à trouver le double du double du nombre initial. L’élève sait que multiplier par 8 = 2 × 2 × 2 revient à multiplier par 2, puis encore par 2 et une troisième fois par 2. Lors d’une séance de calcul mental, si l’élève doit calculer 8 × 27, il peut écrire : « 54 », puis « 108 », puis « 216 », qu’il entoure pour indiquer qu’il s’agit du résultat cherché. Les écrits intermédiaires « 54 » et « 108 » lui permettent de soulager sa mémoire de travail. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Multiplier un nombre entier par 5</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait que multiplier par 5 revient à multiplier par 10 puis à calculer la moitié du résultat obtenu. Il utilise cette procédure pour multiplier par 5 un nombre inférieur à 200. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td><ul> <li>Utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition dans des cas simples</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa3a.png" style="float:right;"> L’élève sait verbaliser « 21 fois 35, c’est 20 fois 35 plus 1 fois 35. ». 21 × 35 = (20 + 1) × 35 = (20 × 35) + (1 × 35) = 700 + 35 = 735 L’élève utilise aussi la décomposition dans l’autre sens : « 35 fois 21, c’est 35 fois 20 plus 35 fois 1. ». </BLOCKQUOTE> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Les quatre opérations</summary> Les quatre opérations sont mobilisées au CM1 lors de la résolution de problèmes, qui permet de donner du sens aux opérations. Cette partie entretient également, de façon naturelle, un lien fort avec les autres parties du programme relatives aux nombres, aux grandeurs et au calcul mental. Des additions, des soustractions et des multiplications posées sont régulièrement utilisées dès le début de l’année, quand les nombres en jeu le justifient. Cependant, les élèves sont encouragés à privilégier le calcul mental à chaque fois que celui-ci est envisageable. La commutativité de la multiplication est à nouveau explicitée lorsqu’elle est mobilisée. Au cours moyen, les élèves ne disposent pas de calculatrice personnelle. Des calculatrices peuvent être distribuées par l’enseignant pour certaines activités et à certains élèves, lorsque le professeur estime que cette mise à disposition peut être utile. <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Estimer le résultat d’une opération</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait estimer le résultat d’une opération dans des cas simples. Par exemple, il sait dire que : <ul><li>la somme 212 m + 298 m + 496 m est proche de 200 m + 300 m + 500 m, c’est-à-dire 1 000 m ;</li> <li>la différence 1 494 – 203 est proche de 1 500 – 200, c’est-à-dire 1 300 ;</li> <li>le produit 52 × 37 L est proche de 50 × 40 L, c’est-à-dire 2 000 L ;</li> <li>le quotient 597 kg ÷ 2 est proche de 600 kg ÷ 2, c’est-à-dire 300 kg.</li></ul> L’élève connait et utilise le symbole ≈. Il écrit 1 494 – 203 ≈ 1 300 pour exprimer que 1 300 est une estimation de la différence entre 1 494 et 203. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Savoir effectuer un calcul contenant des parenthèses</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend que les parenthèses renseignent sur les opérations à effectuer en premier. Dans des cas simples, l’élève sait effectuer un calcul en respectant l’ordre des opérations indiqué par les parenthèses, par exemple : 3 × (10 – 6). </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Poser en colonnes et effectuer des additions et des soustractions de nombres décimaux</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend et utilise les mots usuels rencontrés dans le cadre des opérations (terme, somme, différence) L’élève sait effectuer des additions et des soustractions posées mettant en jeu des nombres décimaux. Par exemple, l’élève sait poser en colonnes, puis effectuer des calculs du type : 56,75 + 234 + 0,8 ou encore 34,5 – 2,58. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Poser et effectuer des multiplications de deux nombres entiers</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend et utilise les mots usuels rencontrés dans le cadre des opérations (facteur, produit, multiple, diviseur « 9 est un diviseur de 36. ») L’élève sait calculer des produits en posant la multiplication. Par exemple, il sait calculer le produit 876 × 208. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Poser et effectuer des multiplications d’un nombre décimal par un nombre entier inférieur à 10</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> Dans le cadre de la résolution d’un problème, l’élève sait déterminer, en posant l’opération si nécessaire, le produit d’un nombre décimal par un entier inférieur à 10. Par exemple, il sait calculer les produits 7 × 46,55 € et 8 × 17,3 km. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Poser et effectuer des divisions euclidiennes avec un diviseur à un chiffre</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend et utilise les mots usuels rencontrés dans le cadre des opérations (dividende, diviseur « Dans la division de 743 par 9, le nombre 743 est le dividende et le nombre 9 est le diviseur. »), quotient, reste. L’élève sait effectuer, en la posant, la division euclidienne d’un nombre entier dont l’écriture contient jusqu’à cinq chiffres par un nombre à un chiffre. Lorsque l’opération est effectuée, il sait désigner le dividende, le diviseur, le quotient et le reste. L’élève fait le lien entre la division euclidienne 9 456 par 7, où il trouve un quotient égal à 1 350 et un reste égal à 6, avec l’égalité 9 456 = 1 350 × 7 + 6. Dans le cas de problèmes concrets, il sait interpréter l’égalité précédente en insérant les unités dans le calcul, comme 2 458 oeufs = 409 × 6 oeufs + 4 oeufs. </BLOCKQUOTE> </td></tr> </BLOCKQUOTE> </table> </details> <details> <summary class=rubrique>La résolution de problèmes</summary> La résolution de problèmes arithmétiques fait l’objet d’un enseignement explicite qui vise à développer l’aptitude des élèves à résoudre des problèmes de manière autonome. Cet enseignement s’appuie sur le modèle de résolution de problèmes en quatre phases synthétisé par le schéma ci-dessous. Il constitue notamment un outil utile à l’enseignant pour identifier la ou les éventuelles étapes de la résolution sur lesquelles un élève est en difficulté : <BLOCKQUOTE style="background-color:rgb(255,255,255);"> <center><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9f2cfcf92000be7ea77ec0157.png" width=75%></center> </BLOCKQUOTE> La phase « Comprendre » est particulièrement importante. Pour être en mesure de résoudre un problème, l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème, par l’élève lui-même, en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas la reconnaissance d’une opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes dont l’énoncé contient des termes qui n’induisent pas l’opération attendue, par exemple, des énoncés comportant le mot « plus » alors que l’opération à effectuer est une soustraction. La phase « Modéliser » conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver le résultat cherché. Au cours moyen, seuls les élèves qui en ont besoin continuent de manipuler du matériel tangible. Tous les élèves continuent à utiliser, quand cela les aide, des représentations schématiques afin d’identifier le modèle mathématique en jeu. Au CM1, la phase « Calculer » peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves au moment où est proposé le problème : le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées. La phase « Répondre » conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », ou des questions relatives à la vraisemblance du résultat trouvé : « 4,5 m pour la longueur d’une voiture, est-ce que cela est plausible ? », « 800 km entre Paris et New-York, est-ce que cela semble possible ? ». L’élève doit apprendre à se poser systématiquement ce type de questions. Les données des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maîtrisé au CM1, à savoir les nombres entiers jusqu’à 999 999, les nombres décimaux et les fractions. Le champ numérique dépend cependant fortement de la structure mathématique du problème : plus celle-ci est complexe, plus le champ numérique doit être réduit afin d’éviter une surcharge cognitive et de permettre aux élèves de se concentrer sur la structure du problème. Les élèves doivent traiter au moins 10 problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur l’ardoise. Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes dont les structures sont répertoriées dans le programme. Cependant, des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être proposés tout au long de l’année. <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Résoudre des problèmes additifs en une étape des types « parties-tout » et « comparaison »</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> Dans la continuité de ce qui a été mené au cycle 2, l’élève résout des problèmes additifs en une étape en s’appuyant, si nécessaire, sur des schémas en barre ou des schémas avec un déplacement sur un axe pour les problèmes de transformation. L’élève sait résoudre de tels problèmes mettant en jeu des nombres décimaux. L’élève sait résoudre de tels problèmes mettant en jeu des fractions, lorsque les opérations à effectuer font partie des attendus du CM1. Par exemple, il sait résoudre les problèmes suivants : <ul><li>Anaël a construit une bande de papier mesurant 37 10 cm et Léna a construit une bande papier mesurant 4 + 3 10 cm. Quelle est la bande la plus longue ? Quel est l’écart de longueur entre les deux bandes de papier ?</li> <li>Ethan a acheté des pommes et des poires. Il a acheté 3,4 kg de pommes. Il a acheté 6 kg de fruits en tout. Quelle masse de poires a-t-il achetée ?</li> <li>Alix mesure 1,61 m. Elle mesure 13 cm de plus que Bruno. Quelle est la taille de Bruno ?</li></ul> </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Résoudre des problèmes additifs en deux ou trois étapes</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève continue de résoudre des problèmes additifs en plusieurs étapes, comme ceux rencontrés au cycle 2, mais le champ numérique sur lequel ils portent est plus étendu (grands entiers et nombres décimaux), par exemple, le problème suivant : <ul><li>Agathe a parcouru 17 km en 1 h 30 min Elle a parcouru 8,4 km pendant la première demi-heure, puis 3,8 km pendant la deuxième demi-heure. Quelle distance a parcourue Agathe pendant la dernière demi-heure ?</li></ul> L’élève résout des problèmes de comparaison de quantités ou de grandeurs qui se traitent en deux étapes. Il s’agit de problèmes impliquant la valeur des deux quantités ou grandeurs réunies ainsi que leur écart et nécessitant donc une étape supplémentaire, par exemple : « Léo a 25,60 €. Lucie a 7,55 € de plus que Léo. Combien d’euros les deux enfants ont-ils en tout ? ». L’élève peut s’appuyer sur un schéma en barres comme le suivant pour s’aider lors de la modélisation du problème : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa3b.png"> </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Résoudre des problèmes multiplicatifs de type « parties-tout » en une étape</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève continue de résoudre des problèmes multiplicatifs similaires à ceux rencontrés au cycle 2, mais dont le champ numérique est plus étendu. Pour résoudre le problème « La maitresse de CM1 a acheté six dictionnaires pour la classe. Chaque dictionnaire coute 17,85 €. Quel montant a-t-elle dû payer pour les six dictionnaires ? », l’élève peut réaliser le schéma suivant : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa3c.png"> Pour les problèmes consistant à rechercher la valeur d’une part ou le nombre de parts dans le cadre d’un partage équitable, l’élève sait s’appuyer sur un schéma pour faciliter la modélisation mathématique du problème ainsi que sur sa connaissance des tables de multiplication. </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Résoudre des problèmes de comparaison multiplicative</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend le sens des locutions « fois plus » et « fois moins » et les distingue des locutions « de plus » et « de moins » qui apparaissent dans les problèmes de comparaison additive. L’élève sait résoudre des problèmes de comparaison multiplicative se traitant en une étape. L’élève sait résoudre des problèmes de comparaison multiplicative nécessitant deux étapes comme : « Axel achète une trottinette et un casque. La trottinette coute quatre fois plus cher que le casque. Le casque coute 32 €. Combien doit payer Axel ? » L’élève peut s’appuyer sur un schéma en barre comme le suivant pour s’aider lors de la modélisation du problème : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa3d.png"> </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Résoudre des problèmes mixtes en deux ou trois étapes</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait résoudre des problèmes engageant des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions comme, par exemple, le suivant : Izmir achète trois pains aux raisins pesant chacun 210 grammes et deux bouteilles d’eau pesant 1,6 kilogramme chacune. Quelle est la masse totale des achats d’Izmir ? </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Résoudre des problèmes de dénombrement</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait résoudre des problèmes consistant à déterminer le nombre d’éléments d’un ensemble et qui ne se résolvent pas immédiatement par l’une des quatre opérations. Pour y parvenir, il présente les éléments à dénombrer selon une organisation permettant à la fois de les compter tous, une et une seule fois, sans oubli ni redondance. Ainsi l’élève sait avoir recours à un tableau, à un arbre ou à une liste organisée pour résoudre des problèmes de dénombrement comme les suivants : <ul> <li>Félicien veut habiller son ours en peluche avec un teeshirt et un pantalon. Il dispose de six teeshirts différents et de trois pantalons différents. De combien de façons différentes Félicien peut-il habiller son ours ?</li> <li>Coumba lance deux dés classiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Elle ajoute les deux nombres. Donne la liste de tous les résultats qu’elle peut obtenir.</li> <li>Karnish veut fabriquer un jeu de dominos. Dans son jeu, chaque domino doit être composé de deux nombres de points compris entre 0 et 4 et il ne peut pas y avoir deux dominos identiques. Quel est le nombre maximum de dominos que peut contenir ce jeu ? Attention ! Le domino <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa3e.png"> est le même que le domino <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/ea4f15a3cdc7baf5e3158aa3f.png">.</li></ul> </BLOCKQUOTE> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Résoudre des problèmes d’optimisation</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait résoudre des problèmes consistant à trouver une solution optimale parmi plusieurs solutions respectant plusieurs contraintes, comme le problème suivant. <ul><li>Ilyes veut réaliser des bracelets. Pour un bracelet, il lui faut un fil de longueur 12 cm, cinq perles blanches, six perles vertes et trois perles rouges. Il dispose de : <ul><li>10 fils de longueur 12 cm ;</li> <li>48 perles blanches ;</li> <li>47 perles vertes ;</li> <li>25 perles rouges.</li></ul> Quel est le nombre maximal de bracelets qu’il peut réaliser ?</li></ul> </BLOCKQUOTE> </td></tr> </table> </BLOCKQUOTE> </details> <details> <summary class=rubrique>Algèbre</summary> L’objectif de cette sous-partie est d’initier les élèves à la « pensée algébrique » et en particulier de développer leur capacité à résoudre des problèmes en raisonnant sur des nombres sans connaître leur valeur. Les élèves apprennent à désigner ces nombres par des symboles ou par des lettres et à raisonner en écrivant avec ces symboles des relations mathématiques. Ils sont aussi amenés à identifier et à généraliser des structures, notamment dans le cadre de suites de motifs ou de suites de nombres ou de symboles en exprimant la relation entre deux éléments consécutifs ou entre le rang d’un élément et la valeur associée. Les nombres dont la valeur n’est pas connue peuvent être représentés par des symboles dans deux cas de figure. D’une part dans des situations où on cherche à trouver leur valeur. Par exemple, on peut écrire <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/9f2cfcf92000be7ea77ec0158.png" width=30%> pour traduire que 2 paires de ciseaux et 3 stylos coûtent 20 euros. D’autre part, dans des situations où le symbole a un caractère générique et représente différentes valeurs que le nombre peut prendre ; par exemple, si on achète des tee-shirts à 12 € et si le coût de la livraison est 5 € alors, quel que soit le nombre de tee-shirts achetés, le prix à payer, en euro, peut s’écrire (N × 12) + 5, où N est le nombre de tee-shirts achetés. Des relations faisant intervenir des nombres inconnus peuvent aussi être représentées par des schémas en barre dans le cadre de la résolution de problèmes. Le travail mené conduit à étendre le sens du signe « = » : il n’est pas simplement un symbole placé entre une opération et son résultat. Il peut être placé entre deux expressions qui sont égales, ce qui conduit notamment à faire poindre la notion d’équation, comme dans l’égalité à compléter suivante : « 178 – … = 6 × 8 ». <BLOCKQUOTE class=objectifs_cm1> <table> <tr><td>Objectifs d'apprentissages </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Trouver le nombre manquant dans une égalité à trous</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> Dans des cas simples, en utilisant ses connaissances en calcul et les propriétés des opérations, l’élève sait trouver mentalement le nombre manquant dans une égalité comme les suivantes : 347 = 20 + … ; 5 760 – … = 5 360 ; 4 000 – … = 3 999 ; 2 × 137 × 5 = 137 × … ; 24 × 5 = … × 10 ; 144 + 7 = 142 + … ; 142 – 14 = … – 17. À l’écrit, l’élève sait trouver le nombre manquant dans une égalité à trou comme 748 + … = 1200 ; 24 × 5 = 20 × 5 + … × 5 ; 28 – 18 = … ÷ 5. </BLOCKQUOTE></details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Déterminer la valeur d’un nombre inconnu en utilisant un symbole ou une lettre pour le représenter</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève comprend que des nombres inconnus peuvent être représentés par des symboles ou par des lettres. L’élève sait résoudre des problèmes où des nombres sont représentés par des symboles ou des lettres comme : <ul> <li>On dispose de crayons tous identiques. On a le résultat suivant : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8db.png"> Quelle est la masse d’un crayon ?</li> <li>Maxime a mis trois paires de ciseaux identiques sur un plateau de sa balance et a obtenu l’équilibre en ajoutant différents poids comme indiqué sur le schéma ci-dessous. <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8dc.png"> Quelle est la masse d’une paire de ciseaux ?</li> <li>Rose a choisi un nombre noté N et a effectué le calcul suivant 3 × (2 + N). Elle a trouvé 27. Quel est le nombre N qu’elle a choisi ?</li> </ul> </BLOCKQUOTE></details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Résoudre des problèmes algébriques</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait résoudre des problèmes où des nombres sont représentés par des symboles. L’élève sait s’appuyer sur des schémas pour représenter des relations entre des nombres connus et une ou plusieurs inconnues. L’élève sait, par exemple, résoudre un problème comme le suivant en s’appuyant sur un schéma en barres : <ul><li>Mia a choisi un nombre. En ajoutant 7 au triple du nombre choisi par Mia, on trouve 100. Quel est le nombre choisi par Mia ?</li></ul><img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8dd.png"> </BLOCKQUOTE></details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Exécuter un programme de calcul</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait déterminer le résultat obtenu quand on applique à un nombre donné, comme par exemple 5, un programme de calcul comme le suivant : <ul> <li>Choisir un nombre entier.</li> <li>Ajouter 2 au nombre choisi.</li> <li>Multiplier le résultat trouvé à l’étape précédente par 4.</li> <li>Écrire le nombre obtenu.</li> </ul> Les programmes comprennent au plus deux étapes de calcul. Les programmes de calcul utilisés peuvent être codés avec un logiciel de programmation par bloc comme Scratch ou sur une feuille d’un tableur en faisant apparaitre les différentes étapes, de manière à vérifier les résultats obtenus. </BLOCKQUOTE></details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Identifier et formuler une règle de calcul pour poursuivre une suite de nombres</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> À partir des premiers termes d’une suite de nombres, l’élève sait identifier et formuler une règle expliquant comment la suite est construite, et la poursuivre en donnant les trois termes suivants, comme pour les suites : <ul> <li>3 ; 7 ; 11 ; 15, etc.</li> <li>4 ; 12 ; 36 ; 108, etc.</li> <li>80 ; 85 ; 83 ; 88 ; 86 ; 91 ; 89 ; 94 ; 92, etc.</li> <li>1 ; 2 ; 6 ; 7 ; 11 ; 12 ; 16, etc.</li> </ul> Pour certaines suites plusieurs « règles » de calcul peuvent être trouvées, par exemple, pour la suite 1 ; 2 ; 6 ; 7 ; 11 ; 12 ; 16…, les élèves peuvent proposer comme règles de calcul : <ul><li>l’ajout de 5 pour trouver le nombre situé deux rangs plus loin : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8de.png"></li> <li>l’ajout alternatif de 1 et de 4 pour trouver le nombre au rang suivant : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8df.png"></li></ul> </BLOCKQUOTE></details> </td></tr> <tr><td> <ul> <li>Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive</li> </ul> <details class=exreussite><summary>Exemple(s) de réussite</summary> <BLOCKQUOTE> L’élève sait, par exemple, déterminer le nombre d’éléments des motifs que l’on trouvera aux trois étapes suivantes pour les suites dont les premiers motifs sont : <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8e0.png"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8e1.png"> <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/429d05d0c8be8ca22d8dfc8e2.png"> L’élève sait dire comment le nombre d’éléments pour une étape peut se déduire du nombre d’éléments pour l’étape précédente, par exemple :<ul> <li>« À chaque étape, le nombre de coeurs est égal au nombre de coeurs de l’étape précédente plus trois. »</li> <li>« À chaque étape, le nombre de ronds est égal au nombre de ronds de l’étape précédente plus le numéro de l’étape. »</li> </ul> </BLOCKQUOTE> </td></tr> </details> </table> </details></details> <details> <summary class=cm2_fonce><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/XlVoQb3_z#lecture" target="_self">Cours moyen deuxième année</a></summary> </details> <details> <summary class=sixieme_fonce><a href="https://codimd.apps.education.fr/s/npFkhTwJQ#lecture" target="_self">Sixième</a></summary> </details> </BLOCKQUOTE> <style> .menuselect {background-color: rgb(255,254,145); 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