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# Corrigé détaillé et enrichi du DNB de mathématiques - Métropole 2023
[:page_facing_up: Sujet au format PDF](https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Brevet_Metropole_26_juin_2023_FK.pdf)
## Exercice 1
1. On calcule $160-75=75$ \
L'étendue est donc bien de $85~€$.
2. a. On écrira : `=somme(B2:F2)` ou `=B2+C2+D2+E2+F2`
b. $1200+950+875+250+300=3575$ \
La somme de lunettes vendues en 2022 est de $3575$.
3. a. $1200\times75+950\times100+875\times110+250\times140+300\times160=364~250$ \
Le montant total des ventes en 2022 est donc de $321~050~€$.
b. $\displaystyle\frac{364~250}{3572}\approx101{,}89$ \
Le prix moyen d'une paire de lunettes vendues en 2022 est d'environ $101{,}89~€$ (arrondi au centime près).
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## Exercice 2
1. $Aire~du~rectangle = longueur\times{}largeur$ \
On a alors : $\mathscr{A}_{BCDE}=4{,}2\times7=29{,}4$ \
L'aire du rectangle $BCDE$ est donc bien de $29{,}4~\textrm{cm}^2$
2. a. Le triangle $BAE$ est rectangle en $A$. \
On applique le théorème de Pythagore à ce triangle et on a :
$BE^2=AB^2+AE^2$ \
$7^2=4{,}2^2+AE^2$ \
$49=17{,}64+AE^2$ \
$AE^2=49-17{,}64=31,36$ \
$AE=\sqrt{31,36}=5{,}6$ \
On en conclut que la longueur $AE$ est bien égale à $5{,}6~\textrm{cm}^2$.
b. $Aire~du~triangle=\displaystyle{}\frac{base\times{}hauteur}{2}$ \
On a alors : $\mathscr{A}_{ABE}=\displaystyle\frac{5{,}6\times4,2}{2}=11{,}76$ \
L'aire du triangle $ABE$ est donc de $11{,}76~\textrm{cm}^2$.
3. a. _Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles._ \
Ainsi, les droites $(HA)$ et $(ED)$, toutes deux perpendiculaires à la droite $(CF)$, sont parallèles.
b. On sait que :
- les points $F$, $E$ et $A$ sont alignés
- les points $F$, $D$ et $H$ sont alignés
- les droites $(ED)$ et $(HA)$ sont parallèles
On peut donc appliquer le théorème de Thalès et on a les égalités suivantes : \
$\displaystyle\frac{FE}{FA}=\frac{DE}{HA}=\frac{FD}{FH}$ \
Or, on sait que : $FA=FE+EA=7+5{,}6=12{,}6~\textrm{cm}$ \
et que : $DE=BC=4{,}2~\textrm{cm}$ puisque $[DE]$ est le côté opposé à $[BC]$ dans le rectangle $BCDE$. \
En insérant ces valeurs dans la première égalité de Thalès, il vient : \
$\displaystyle\frac{7}{12{,}6}=\frac{4{,}2}{HA}$ \
On en déduit finalement : $HA=\displaystyle{}\frac{4{,}2\times12{,}6}{7}=7{,}56$
Ainsi, la longueur $HA$ est donc égale à $7{,}56~\textrm{cm}^2$.
## Exercice 3
1. Réponse B
2. Réponse C
3. Réponse A
4. Réponse B
5. Réponse B
## Exercice 4
1. a. $\displaystyle\frac{272}{17}=16$ \
Il faut donc bien 16 marches d'une hauteur de $17~\textrm{cm}$ pour une hauteur d'escalier de $272~\textrm{cm}$.
b. $16\times27=432$ \
La longueur $AB$ est donc bien égale à $432~\textrm{cm}$.
2. a. On sait que :
- $AB=432~\textrm{cm}$
- $BC=272~\textrm{cm}$
- le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ \
On peut donc appliquer les formules de trigonométrie, en l'occurrence ici :
$\textrm{tan}(\widehat{CAB})=\displaystyle\frac{BC}{AB}$
et donc $\displaystyle\widehat{CAB}=\textrm{tan}^{-1}\left(\frac{BC}{AB}\right)\approx32^\circ{}$ \
b. Du résultat précédent, on déduit : $25^\circ<\widehat{CAB}<40^\circ$ \
On en conclut que l'escalier permet une montée agréable. \
3. <img src="https://minio.apps.education.fr/codimd-prod/uploads/upload_b5eae1d45e9c24162b4bcb1e4dca10bd.png" style="width: 50%">
:arrow_right: [Lien vers le projet Sractch "modifiable"](https://scratch.mit.edu/projects/869759706/editor/)
**Résultat de l'algorithme :**
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## Exercice 5
1. a. On choisit $-3$. \
On calcule : $(-2)\times(-3)=6$ \
Puis on calcule : $5+6=11$ \
On trouve bien $11$ lorsqu'on choisit $-3$ au début du programme $A$.
b. On choisit $5{,}5$. \
On calcule : $5{,}5-5=0{,}5$ \
On calcule : $0{,}5\times3=1{,}5$ \
Puis, on calcule : $1{,}5+11=12{,}5$. \
On obtient donc $12{,}5$ si on choisit $5{,}5$ comme nombre de départ au programme $B$.
2. On procède aux différentes étapes :
- On choisit $x$
- On soustrait $5$ : $x-5$
- On multiplie par $3$ : $(x-5)3=3x-15$
- On ajoute $11$ : $3x-15+11=3x-4$
On retrouve donc bien $3x-4$ lorsqu'on choisit $x$ comme nombre de départ avec le programme $B$.
3. a. La fonction $f$ est associée à la droite $(D_2)$, en effet c'est la seule qui présente une pente négative et dont l'ordonnée à l'origine est $5$. \
La fonction $g$ est associée à la droite $(D_1)$, en effet c'est la seule droite qui présente une pente positive et une ordonnée à l'origine de $-4$.
b. Les fonctions $f$ et $g$ ont la même image lorsque leurs droites représentatives se croisent.
Dans l'image ci-dessous, on remarque qu'à une unité correspond une longueur de $2{,}4~\textrm{cm}$.
Ainsi, pour une longueur de $1{,}9~\textrm{cm}$ on a $0{,}79$ unités (valeur arrondie au centième, en effet : $\displaystyle\frac{1{,}9}{2{,}4}\approx0{,}79$).
On lit donc une abscisse de $1{,}79$ pour le point d'intersection des deux droites.
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4. On cherche à résoudre l'équation : $-2x+5=3x-4$
$-2x+5=3x-4$
$5=5x-4$
$9=5x$
$x=\displaystyle\frac{9}{5}=1{,}8$
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